在数列{an}中,a1=1,2a(n+1)=(1+1/n)^2乘an(n属于N*)
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/28 13:41:21
在数列{an}中,a1=1,2a(n+1)=(1+1/n)^2乘an(n属于N*)
(1)证明数列{an/n^2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式
(2)令bn=a(n+1)-(1/2)an,求数列{bn}的前n项和Sn
(1)证明数列{an/n^2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式
(2)令bn=a(n+1)-(1/2)an,求数列{bn}的前n项和Sn
(1)证明:因为2a(n+1)=(1+1/n)^2*an=[(n+1)/n]^2*an=(n+1)^2/n^2*an
所以2a(n+1)/(n+1)^2=an/n^2,即a(n+1)/(n+1)^2=(1/2)*an/n^2.
因为a1/1^2=1≠0,所以数列{an/n^2}是以1为首项,1/2为公比的等比数列.
所以an/n^2=a1/1^2*q^(n-1)=1*(1/2)^(n-1)=(1/2)^(n-1).
所以an=n^2*(1/2)^(n-1).
(2)因为bn=a(n+1)-(1/2)an=(n+1)^2*(1/2)^n-(1/2)*n^2*(1/2)^(n-1)=(2n+1)*(1/2)^n
所以Sn=3*(1/2)+5*(1/2)^2+7*(1/2)^3+……+(2n+1)*(1/2)^n
1/2Sn= 3*(1/2)^2+5*(1/2)^3+……+(2n-1)*(1/2)^n+(2n+1)*(1/2)^(n+1)
上式-下式,得:
1/2Sn=3/2+2*[(1/2)^2+(1/2)^3+……+(1/2)^n]-(2n+1)*(1/2)^(n+1)
=3/2+2*(1/2)^2*[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)]-(2n+1)*(1/2)^(n+1)
=3/2+[1-(1/2)^(n-1)]-(2n+1)*(1/2)^(n+1)
所以Sn=5-(1/2)^(n-2)-(2n+1)*(1/2)^n.
所以2a(n+1)/(n+1)^2=an/n^2,即a(n+1)/(n+1)^2=(1/2)*an/n^2.
因为a1/1^2=1≠0,所以数列{an/n^2}是以1为首项,1/2为公比的等比数列.
所以an/n^2=a1/1^2*q^(n-1)=1*(1/2)^(n-1)=(1/2)^(n-1).
所以an=n^2*(1/2)^(n-1).
(2)因为bn=a(n+1)-(1/2)an=(n+1)^2*(1/2)^n-(1/2)*n^2*(1/2)^(n-1)=(2n+1)*(1/2)^n
所以Sn=3*(1/2)+5*(1/2)^2+7*(1/2)^3+……+(2n+1)*(1/2)^n
1/2Sn= 3*(1/2)^2+5*(1/2)^3+……+(2n-1)*(1/2)^n+(2n+1)*(1/2)^(n+1)
上式-下式,得:
1/2Sn=3/2+2*[(1/2)^2+(1/2)^3+……+(1/2)^n]-(2n+1)*(1/2)^(n+1)
=3/2+2*(1/2)^2*[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)]-(2n+1)*(1/2)^(n+1)
=3/2+[1-(1/2)^(n-1)]-(2n+1)*(1/2)^(n+1)
所以Sn=5-(1/2)^(n-2)-(2n+1)*(1/2)^n.
在数列{an}中,a1=3,an=-a(n-1)-2n-1(n大等于2,且n属于N正)
在数列{an}中,a1=3,an=-an-1-2n+1(n≥2,且n属于N*) (1)证明:数列{an+n}是等比数列,
数列证明,求通项公式已知数列{an}中,a1=1/3,an*a(n-1)=a(n-1)-an(n>=2,n属于正整数),
已知数列{an}中a1=6,且an-an-1=(an-1/n)+n+1(n属于N*,n≥2),求an
在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n属于正整数 (1)证明{an-n}是等比数列 (2)求数列{a
在数列{an}中,a1=2,sn=4A(n+1) +1 ,n属于N*.求数列{an}的前n项和Sn
已知数列{an}中,a1=1,满足an+1=an+2n,n属于N*,则an等于
在数列{an}中,a1+2a2+3a3+.+nan=n(2n+1)(n属于N)
在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=4an-3n+1(n为正整数),证明数列{an-n}是等比数列
在数列{an}中,已知a1=1 a2=3 a(n+2)=a(n+1)-an n属于N* 求a2008
在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=an+ln(1+1/n)
在数列{an}中,已知a1=2,an+1=3an+3^n+1-2^n(n属于N*) 求an通项