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若a的平方(b-c)+b的平方(c-a)+c的平方(a-b)=0,求证:a b c三个数中至少有两个数相等.

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/30 11:54:48
若a的平方(b-c)+b的平方(c-a)+c的平方(a-b)=0,求证:a b c三个数中至少有两个数相等.
展开,得a^2*b-a^2*c+b^2*c-b^2*a+c^2*a-c^2*b
=(a^2*b-b^2*a)-(a^2*c-b^2*c)+(c^2*a-c^2*b)
=a*b*(a-b)-(a-b)*(a+b)*c+c^2*(a-b)
=(a-b)(a*b-a*c-b*c+c^2)
=(a-b)[(a*b-a*c)-(b*c-c^2)]
=(a-b)[a*(b-c)-c*(b-c)]
=(a-b)*(b-c)*(a-c)=0
所以a-b=0或者b-c=0或者a-c=0
也就是至少有2个数相等