直线L：y=kx+b与椭圆x²/2+y²=1交于P、Q两点,且OP与OQ垂直（O为坐标原点）,求证：

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 23:36:34

直线L：y=kx+b与椭圆x²/2+y²=1交于P、Q两点,且OP与OQ垂直（O为坐标原点）,求证：直线L与原点的距离为常数,并求出这个常数.

将直线L：y=kx+b的方程代入椭圆x²/2+y²=1并消去y得：
x²/2+(kx+b) ²=1,
化简得：(1+2k²)x²+4kbx+2b²-2=0,
设P、Q两点坐标为(x1,y1),(x2,y2).
则x1+x2=-4kb/(1+2k²),x1x2=(2b²-2)/(1+2k²).……（*）
因为OP与OQ垂直,所以y1/x1•y2/x2=-1.
即x1x2+y1y2=0.
x1x2+(kx1+b) (kx2+b)=0.
(1+k²)x1x2+kb(x1+x2)+b²=0.
将（*）代入得：(1+k²)[(2b²-2)/(1+2k²)]+kb[-4kb/(1+2k²)]+b²=0.
两边同乘以(1+2k²)得：(1+k²)(2b²-2) -4k²b²+ b²(1+2k²)=0.
整理得：3b²-2-2 k²=0.b²=2(1+k²)/3.
直线L与原点的距离为|b|/√(1+k²)=√(2/3)=√6/3.

直线L：y=kx+b与椭圆x²/2+y²=1交于P、Q两点,且OP与OQ垂直（O为坐标原点）,求证：椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交与P,Q两点且OP垂直于OQ,其中O为坐标原点椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交与P,Q两点且OP垂直于OQ,其中O为坐标原点求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于P.Q两点,且OP垂直OQ,其中0为坐标原点已知椭圆x²/6+y²/2=1,直线l过点(3,0）且交椭圆与P,Q两点.若向量OP垂直向量OQ,求 .(14分)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线x+y-i=0 相交于P Q两点,且OP垂直于OQ（O为原点）. 椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x+y=1交于P、Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点已知椭圆方程X^2/2+Y^2=1,直线L与椭圆相交于pq两点,o为原点,且op垂直oq. 已知圆x²＋y²＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P、Q两点,且OP⊥OQ（O为坐标原点）已知圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点,且OP⊥OQ（O为原点）,求已知抛物线y=x^2,是否存在斜率为1的直线与抛物线交于P、Q两点,使得OP垂直于OQ（O为坐标原点）,说明理由已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆交于P,Q两点,且OP⊥OQ,/PQ/=根号10/2,