.(14分)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线x+y-i=0 相交于P Q两点,且OP垂直于OQ（O为原点）.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 22:41:56

.(14分)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线x+y-i=0 相交于P Q两点,且OP垂直于OQ（O为原点）.(1)求证1/a^2+1/b^2 等于定值；
(2)当椭圆离心率e属于[根号3/3(三分之根号三),根号2/2(二分之根号二)(根号只管分子)]时,求椭圆长轴长的取值范围.

（1）、x+y-i=0
y=-x+i
代入椭圆方程,x^2/a^2+(x-i)^2/b^2=1
整理得：x^2(1/a^2+1/b^2)-(2i/b^2)x+i^2/b^2-1=0
因为 b≠0
所以 x^2(1+b^2/a^2)-2ix+i^2-b^2=0
OP垂直于OQ
所以 K(op)*K(oq)=-1
所以 XpXq+YpYq=0
XpXq+(-Xp+i)(-Xq+i)=0
2XpXq-i(Xp+Xq)+i^2=0
因为 XpXq=(i^2-b^2)/(1+b^2/a^2),Xp+Xq=2i/(1+b^2/a^2)
所以 2(i^2-b^2)/(1+b^2/a^2)-i*2i/(1+b^2/a^2)+i^2=0
2(i^2-b^2)-2i^2+i^2(1+b^2/a^2)=0
-2b^2+i^2+b^2i^2/a^2=0
i^2(a^2+b^2)=2a^2b^2
1/a^2+1/b^2=2/i^2
（2）、e=c/a∈[√3/3,√2/2]
c^2/a^2∈[1/3,1/2]
(a^2-b^2)/a^2∈[1/3,1/2]
1-b^2/a^2∈[1/3,1/2]
b^2/a^2∈[1/2,2/3]
因为 b^2=a^2i^2/(2a^2-i^2)
所以 i^2/(2a^2-i^2)∈[1/2,2/3]
所以 a^2∈[(5/4)i^2,(6/4)i^2]
2a∈[√5|i|,√6|i|]

.(14分)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线x+y-i=0 相交于P Q两点,且OP垂直于OQ（O为原点）. 椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且OP⊥OQ（O为原点）,求1 椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交与P,Q两点且OP垂直于OQ,其中O为坐标原点椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交与P,Q两点且OP垂直于OQ,其中O为坐标原点求已知椭圆方程X^2/2+Y^2=1,直线L与椭圆相交于pq两点,o为原点,且op垂直oq. 直线L：y=kx+b与椭圆x²/2+y²=1交于P、Q两点,且OP与OQ垂直（O为坐标原点）,求证：椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于P.Q两点,且OP垂直OQ,其中0为坐标原点过点（3,0）的直线L与圆x^2+y^2+x-6y+3=0相交与P,Q两点,且OP垂直于OQ,（其中O为原点）,求直线已知圆想x2+Y2+X-6Y+M=0与直线x+2y-3=0相交于p,q两点,o为原点,且op垂直于oq,求实数m的值 1.已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点,O为原点,且OP垂直OQ,求实数m的值. 椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x+y=1交于P、Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OP垂直于OQ,试求m的值