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如图,抛物线y=-x²-x+2与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧）,与y轴交于点C,它的顶点为M

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/08 22:07:05

点P为线段AM上一动点,过点P作PN⊥x轴,垂足为N,设ON的长为m,四边形BCPN的面积为S,解决下列问题：

（1）点M的坐标是（_____,_____）；

（2）求S与m之间的函数解析式,并写出自变量m的取值范围；

（3）当m为何值时,PC⊥BC?

（4）将△BOC补成矩形,使△BOC的两个顶点B、C成为矩形的一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,请求出矩形未知顶点的坐标.

要有图解,否则不采纳

答：
（1）抛物线y=-x^2-x+2=-(x+1/2)^2+9/4,所以顶点坐标M（-1/2,9/4）

（2）抛物线y=-x^2-x+2,令y=0,得点A（-2,0）,点B（1,0）；令x=0,得点C（0,2）
直线AM方程为：y=(x+2)(9/4-0)/(-1/2+2)=3x/2+3,设点P(p,3p/2+3）,则点N为（p,0）
-2<=p<=-1/2,则：1/2<=m=-p<=2.
S=S梯形OCPN+S三角形OBC
=(3p/2+3+2)*m/2+1*2/2
=(-3m/2+5)*m/2+1
=-3m^2/4+5m/2+1,1/2<=m<=2

（3）PC⊥BC时,它们的斜率乘积为-1：[(3p/2+3-2)/(p-0)]*[(2-0)/(0-1)]=-1,p=-1.
所以：m=-p=1.

（4）△BOC补全为矩形见图,意思是补全后BC是矩形的其中一条边,并且保证三角形顶点O落在BC的对边上.显然,BC的对边即矩形的另外一条边WQ//BC并且经过原点O.所以直线WQ的斜率与BC边的斜率相同都为-2..设WQ直线方程为：y=-2x
因为WC⊥BC,QB⊥BC,所以WC和QB的斜率相同都为：-1/(-2)=1/2,所以：
直线WC为y-2=(x-0)/2,即：y=x/2+2
直线QB为y-0=(x-1)/2,即：y=x/2-1/2
以上两直线分别与WQ直线y=-2x联立可求得点W（-4/5,8/5）,点Q（1/5,-2/5）.
所以补全后矩形的未知顶点坐标为：点W（-4/5,8/5）和点Q（1/5,-2/5）