在三角形ABC中,BD、CD分别是角ABC、角ACB的平分线,BP CP分别是角ABC、角ACB的外角平分线

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 12:01:56

在三角形ABC中,BD、CD分别是角ABC、角ACB的平分线,BP CP分别是角ABC、角ACB的外角平分线
1、当角A等于40°是,分别求∠D、∠P的度数.
2、当角A的大小变化时,试探究∠D＋∠P的度数是否变化.如果不变化,求出∠D＋∠P的值,如果变化,请说明理由.
只需要求第二题就行了

设△ABC中,∠ABC和∠ACB的内角平分线交于D,∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于E,∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线交于P,则有下列关系成立：
①∠BDC＝90＋∠A/2
②∠P＝90－∠A/2
证明过程如下：
1、
因为BD平分∠ABC,
所以∠DBC＝∠ABC/2
同理∠DCB＝∠ACB/2
因为∠DBC＋∠DCB＋∠BDC＝180°
所以∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB
＝180－(∠ABC＋∠ACB)/2
又因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°
所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A
所以∠BDC＝180°－(180°－∠A)/2
即∠BDC＝90°＋∠A/2
2、
如图,根据三角形内角和性质得：
∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A
∠BPC＝180°－(∠CBP＋∠BCP)
因为BP、CP为∠ABC,∠ACB的外角∠MBC和∠NCB的平分线
所以∠MBP＝∠CBP＝∠CBM/2
∠BCP＝NCP＝∠BCN/2
所以∠BPC＝180°－(∠CBP＋∠BCP)
＝180°－(∠CBM/2＋∠BCN/2)
＝180°－(∠CBM＋∠BCN)/2
因为∠CBM＝180°－∠ABC,∠BCN＝180°－∠ACB
所以∠BPC＝180°－(180°－∠ABC＋180°－∠ACB)/2
＝(∠ABC＋∠ACB)/2
＝(180°－∠A)/2
即∠P＝90°－∠A/2
由上知：
∠D＋∠P＝90°＋∠A/2＋90°－∠A/2＝180°
所以∠D＋∠P的度数不变化.∠D＋∠P的值是180度