作业帮一道高中椭圆与圆综合题.
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 05:41:01
一道高中椭圆与圆综合题.
已知椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2=1(a>b>0)和圆 x^2+y^2=b^2
过椭圆上一点P作圆的切线,切点为A、B.
设直线AB与x、y轴交于M、N.求 a^2/ON^2 +b^2/OM^2的值.
如图.
已知椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2=1(a>b>0)和圆 x^2+y^2=b^2
过椭圆上一点P作圆的切线,切点为A、B.
设直线AB与x、y轴交于M、N.求 a^2/ON^2 +b^2/OM^2的值.
如图.
偶来了.
简单说下方法、、
不妨设M（m,0) N(0,n)
MN方程为my+nx=mn
与圆方程联立,得到某复杂一元二次方程.其中A横坐标和B横坐标分别为此方程两实根.
不妨设A(X1,Y1)B(X2,Y2) 则PA方程：x*X1+y*Y1=b^2 PB方程：x*X2+y*Y2=b^2（此即切线方程）
然后联立PA、PB方程.解得P（x3,y3) 化简可得P坐标为(b^2/m,b^2/n) （步骤太罗嗦就不打了）
把P点坐标代入椭圆方程.化简整理得a^2/n^2+b^2/m^2=a^2/b^2
上面结果即为所求.
偶用几何画板验证,结果相差0.01.（精度差范围）
以上.
PS:楼上的方法偶想过了,比较啰嗦.尤其是求A、B坐标的时候那个计算量啊.
偶这个步骤较少较清晰.
L咋不把问题贴群里去.这种麻烦题贴这里不一定有人答的.费钱、、
再问： 额、方法我待会试试。。。 这种问题贴咱群里更不用指望有人看了，索性用知道算了，分不随便嘛~~大学慢慢挣~ 哈哈~~
再答： 嘿嘿。
简单说下方法、、
不妨设M（m,0) N(0,n)
MN方程为my+nx=mn
与圆方程联立,得到某复杂一元二次方程.其中A横坐标和B横坐标分别为此方程两实根.
不妨设A(X1,Y1)B(X2,Y2) 则PA方程：x*X1+y*Y1=b^2 PB方程：x*X2+y*Y2=b^2（此即切线方程）
然后联立PA、PB方程.解得P（x3,y3) 化简可得P坐标为(b^2/m,b^2/n) （步骤太罗嗦就不打了）
把P点坐标代入椭圆方程.化简整理得a^2/n^2+b^2/m^2=a^2/b^2
上面结果即为所求.
偶用几何画板验证,结果相差0.01.（精度差范围）
以上.
PS:楼上的方法偶想过了,比较啰嗦.尤其是求A、B坐标的时候那个计算量啊.
偶这个步骤较少较清晰.
L咋不把问题贴群里去.这种麻烦题贴这里不一定有人答的.费钱、、
再问： 额、方法我待会试试。。。 这种问题贴咱群里更不用指望有人看了，索性用知道算了，分不随便嘛~~大学慢慢挣~ 哈哈~~
再答： 嘿嘿。