作业帮一道关于圆与函数的综合题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/23 18:54:12
一道关于圆与函数的综合题
在平面直角坐标系xoy中,设二次函数f(x)=x^2+2x+b(b<1且b≠0)的图像与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C
(Ⅰ)求圆C的方程；
（Ⅱ）设定点P是圆C经过的某定点(其坐标与b无关),问是否存在常数k,使直线y=kx+k与圆C交于点M,N,且|PM|=|PN|.若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.
在平面直角坐标系xoy中,设二次函数f(x)=x^2+2x+b(b<1且b≠0)的图像与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C
(Ⅰ)求圆C的方程；
（Ⅱ）设定点P是圆C经过的某定点(其坐标与b无关),问是否存在常数k,使直线y=kx+k与圆C交于点M,N,且|PM|=|PN|.若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.
设抛物线与X轴交于AB两点,则C一定在AB的垂直平分线,也就是抛物线的对称轴上.所以C横坐标为-2/2=-1,又过点A（根号下（1-b）-1,0）,设圆的方程为（x+1)²+(y-m)²=r²,那么C(-1,m）,
r^2=（根号下（1-b)-1+1）²+m²=m²-b+1
因为（0,b）在圆上,那么将(0,b）代入,有
1+（b-m）²=m²-b+1,b²+b=2bm,因为b≠0所以m=（b+1）/2
C（-1,(b+1)/2),r²=（b²+5-2b)/4
方程为（x+1)²+(y-b/2-1/2)²=b²/4+5/4-b/2
（3）将圆的方程拆开整理得4x²+4y²+8x+4b(1-y)-4y=0,当y=1时b就被消掉了,所以恒过的这个定点的y=1,（因为它与b没关系）,代回解x,得x1=0（舍,因为圆不能过原点）,x2=-2
所以这个定点就是：P（1,-2)
若直线y=kx+k与圆C交于点M,N,且|PM|=|PN|,则OP所在直线为MN的垂直平分线
O坐标为（-1,（b+1）/2)
因此OP所在直线斜率为-[(b+1）/2+2]/2=-(b+5)/4
k=-1/[-(b+5)/4]=4/(b+5)
这题够高考压轴水平了
r^2=（根号下（1-b)-1+1）²+m²=m²-b+1
因为（0,b）在圆上,那么将(0,b）代入,有
1+（b-m）²=m²-b+1,b²+b=2bm,因为b≠0所以m=（b+1）/2
C（-1,(b+1)/2),r²=（b²+5-2b)/4
方程为（x+1)²+(y-b/2-1/2)²=b²/4+5/4-b/2
（3）将圆的方程拆开整理得4x²+4y²+8x+4b(1-y)-4y=0,当y=1时b就被消掉了,所以恒过的这个定点的y=1,（因为它与b没关系）,代回解x,得x1=0（舍,因为圆不能过原点）,x2=-2
所以这个定点就是：P（1,-2)
若直线y=kx+k与圆C交于点M,N,且|PM|=|PN|,则OP所在直线为MN的垂直平分线
O坐标为（-1,（b+1）/2)
因此OP所在直线斜率为-[(b+1）/2+2]/2=-(b+5)/4
k=-1/[-(b+5)/4]=4/(b+5)
这题够高考压轴水平了