作业帮高中椭圆与直线的综合题.好的追分,
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/20 23:51:33
高中椭圆与直线的综合题.好的追分,
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）过点A（-a,0）,B（0,b）直线倾斜角为π/6,原点到该直线的距离为根号3/2.
1）求椭圆方程
2）k＞0的直线l过点（-1,0）与椭圆交于E,F两点,若向量ED=2向量DF,求直线EF方程.
3）是否存在实数k,直线y=kx+2,交椭圆于PQ,以PQ为直径的圆过点P（-1,0）.若存在K求证,若不存在,说明理由.
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）过点A（-a,0）,B（0,b）直线倾斜角为π/6,原点到该直线的距离为根号3/2.
1）求椭圆方程
2）k＞0的直线l过点（-1,0）与椭圆交于E,F两点,若向量ED=2向量DF,求直线EF方程.
3）是否存在实数k,直线y=kx+2,交椭圆于PQ,以PQ为直径的圆过点P（-1,0）.若存在K求证,若不存在,说明理由.
1、A为左顶点,B为上顶点,作OD⊥AB,
|OD|=√3/2,|AO|=2|OD|=√3,
|DB|=√3|OD|/3=1/2,|OB|=2|DB|=1,
椭圆方程为：x^2/3+y^2=1.
2、设E（x1,y1）,F(x2,y2),
|ED|=2|DF|,
x1-(-1)=2(-1-x2),
x1+1=-2-2x2,
x1=-3-2x2,(1)
y1=-2y2,(2)
x1^2+3y1^2=3,(3)
x2^2+3y2^2=3,(4)
(1)、（2）分别代入（3）式,
（-2x2-3）^2/3+(-2y2)^2=1,
4x2^2+12x2+12y2^2=-6,(5)
(4)、（5）联立,
x2=-3/2,
代入（1）式, x1=0,
y1=1,(因在X轴上方,舍去负值-1),
y2=-1/2,
E点坐标（0,1）,F点坐标（-3/2,-1/2）,
∴EF方程为：y=x+1.
3、应该是D（-1,0）,
设P（x1,y1）,Q(x2,y2),
直线方程为：y=kx+2,代入椭圆方程：x^2/3+(kx+2)^2=1,
(1+3k^2)+12kx+9=0,
根据韦达定理,x1+x2=-12k/(1+3k^2),
x1*x2=9/(1+3k^2),
x=(y-2)/k,
[(y-2)/k]^2/3+y^2=1,
y^2(1+3k^2)-4y+4-3k^2=0,
y1*y2=(4-3k^2)/(1+3k^2),
PQ是直径,则向量DP⊥DQ,向量DP=（x1+1,y1）,向量DQ=（x2+1,y2）,
DP•DQ=0,x1*x2+(x1+x2)+1+y1*y2=0,
9/(1+3k^2)-12k/(1+3k^2)+1+(4-3k^2)/(1+3k^2)=0,
12k=14,
∴k存在,k=7/6.
|OD|=√3/2,|AO|=2|OD|=√3,
|DB|=√3|OD|/3=1/2,|OB|=2|DB|=1,
椭圆方程为：x^2/3+y^2=1.
2、设E（x1,y1）,F(x2,y2),
|ED|=2|DF|,
x1-(-1)=2(-1-x2),
x1+1=-2-2x2,
x1=-3-2x2,(1)
y1=-2y2,(2)
x1^2+3y1^2=3,(3)
x2^2+3y2^2=3,(4)
(1)、（2）分别代入（3）式,
（-2x2-3）^2/3+(-2y2)^2=1,
4x2^2+12x2+12y2^2=-6,(5)
(4)、（5）联立,
x2=-3/2,
代入（1）式, x1=0,
y1=1,(因在X轴上方,舍去负值-1),
y2=-1/2,
E点坐标（0,1）,F点坐标（-3/2,-1/2）,
∴EF方程为：y=x+1.
3、应该是D（-1,0）,
设P（x1,y1）,Q(x2,y2),
直线方程为：y=kx+2,代入椭圆方程：x^2/3+(kx+2)^2=1,
(1+3k^2)+12kx+9=0,
根据韦达定理,x1+x2=-12k/(1+3k^2),
x1*x2=9/(1+3k^2),
x=(y-2)/k,
[(y-2)/k]^2/3+y^2=1,
y^2(1+3k^2)-4y+4-3k^2=0,
y1*y2=(4-3k^2)/(1+3k^2),
PQ是直径,则向量DP⊥DQ,向量DP=（x1+1,y1）,向量DQ=（x2+1,y2）,
DP•DQ=0,x1*x2+(x1+x2)+1+y1*y2=0,
9/(1+3k^2)-12k/(1+3k^2)+1+(4-3k^2)/(1+3k^2)=0,
12k=14,
∴k存在,k=7/6.