作业帮一道高中函数与导数的综合题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/20 19:57:02
一道高中函数与导数的综合题
f(x)=kx+lnx,当k=0是,是否存在不相等的正数a、b满足[f(a)-f(b)]/(a-b)=f ‘[（a+b)/2]?
f(x)=kx+lnx,当k=0是,是否存在不相等的正数a、b满足[f(a)-f(b)]/(a-b)=f ‘[（a+b)/2]?
f(x)=kx+lnx,当k=0是,是否存在不相等的正数a、b满足[f(a)-f(b)]/(a-b)=f ‘[（a+b)/2]?
k=0时,f(x)=lnx,f′(x)=1/x,
lna-lnb=ln(a/b)=(a-b)[2/(a+b)]=2(a-b)/(a+b)
设a/b=m,a=mb,ln(a/b)=ln(mb/b)=lnm=2(mb-b)/(mb+b)=2(m-1)/(m+1)
因此只要找到m,使等式lnm=2(m-1)/(m+1)成立,(m≠1),原命题就成立了.
令y₁=lnx,y₂=2(x-1)/(x+1)=[2(x+1)-4]/(x+1)=2-4/(x+1)
由作图不难看出：对数曲线y₁=lnx与曲线y₂=2-4/(x+1)只有一个交点(1,0),而若x=m=1,则有a=b,这与题意是不相符的,所以不存在不相等的正数a,b满足[f(a)-f(b)]/(a-b)=f ′[(a+b)/2].
k=0时,f(x)=lnx,f′(x)=1/x,
lna-lnb=ln(a/b)=(a-b)[2/(a+b)]=2(a-b)/(a+b)
设a/b=m,a=mb,ln(a/b)=ln(mb/b)=lnm=2(mb-b)/(mb+b)=2(m-1)/(m+1)
因此只要找到m,使等式lnm=2(m-1)/(m+1)成立,(m≠1),原命题就成立了.
令y₁=lnx,y₂=2(x-1)/(x+1)=[2(x+1)-4]/(x+1)=2-4/(x+1)
由作图不难看出：对数曲线y₁=lnx与曲线y₂=2-4/(x+1)只有一个交点(1,0),而若x=m=1,则有a=b,这与题意是不相符的,所以不存在不相等的正数a,b满足[f(a)-f(b)]/(a-b)=f ′[(a+b)/2].