|A|=0,A为n阶矩阵,求证：存在非零方阵B,使得AB=BA=0

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 15:27:17

|A|=0,A为n阶矩阵,求证：存在非零方阵B,使得AB=BA=0
详细证明过程,谢谢~

可以这么证：
设A是N×N的方阵.
首先,存在非零列向量X（NX1）,满足AX=0,因为A不满秩.
其次,存在非零列向量Y（N×1）,满足A（T）Y=0,因为A（T）也不满秩（T代表矩阵转置）.
然后,考虑这个方阵B=X*Y(T)（X乘以Y的转置）.
首先它是非零方阵（N×N）,因为X和Y都是非零向量,所以X里至少有某个非零的X(i),Y里至少有某个非零的Y(j),因为B的第i行第j列值是X(i)*Y(j),就必定非零,所以B确实是个非零方阵.
而且
AB=AX*Y(T)=0*Y(T)=0.
BA=XY(T)*A=X*(A(T)*Y)(T)=X*0(T)=0.
证明完毕.
再问：好佩服，我做了好久都没想到要这样•﹏•

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