已知,在正方形ABCD中,AB=8,四边形EFGH的三个顶点E,F,H分别在矩形ABCD的边AB,BC,DA上,AE=1

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 16:23:47

已知,在正方形ABCD中,AB=8,四边形EFGH的三个顶点E,F,H分别在矩形ABCD的边AB,BC,DA上,AE=1.当四边形EFGH

当四边形EFGH为菱形,且BF=a,是否存在a使得△GFC的面积等于1.有人说不存在,但是我做出来是5哎

已知：在矩形ABCD中,AB=10,BC=12,四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上,AE=2．
（1）如图1,当四边形EFGH为正方形时,求△GFC的面积；
（2）如图2,当四边形EFGH为菱形,且BF=a时,求△GFC的面积（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下,△GFC的面积能否等于2?请说明理由．
考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质．
专题：综合题．
分析：（1）过点G作GM⊥BC于M,可以证明△MFG≌△BEF,就可以求出GM的长,进而就可以求出FC,求出面积．
（2）证明△AHE≌△MFG．得到GM的长,根据三角形的面积公式就可以求出面积．
（3）△GFC的面积不能等于2,根据面积就可以求出a的值,在△BEF中根据勾股定理就可以得到EF,进而在直角△AHE中求出AH．
（1）如图1,过点G作GM⊥BC于M．
在正方形EFGH中,∠HEF=90°,EH=EF,
∴∠AEH+∠BEF=90°,
∵∠AEH+∠AHE=90°,
∴∠AHE=∠BEF,
又∵∠A=∠B=90°,
∴△AHE≌△BEF,
同理可证：△MFG≌△BEF,
∴GM=BF=AE=2,
∴FC=BC-BF=10,
则S△GFC=10,
（2）如图2,过点G作GM⊥BC于M．
连接HF．
∵AD∥BC,∴∠AHF=∠MFH,
∵EH∥FG,∴∠EHF=∠GFH,
∴∠AHE=∠MFG．
又∵∠A=∠GMF=90°,EH=GF,
∴△AHE≌△MFG．
∴GM=AE=2．
∴S△GFC=1
2
FC•GM=
1
2
（12-a）×2=（12-a）
（3）△GFC的面积不能等于2．
∵若S△GFC=2,则12-a=2,
∴a=10．
此时,在△BEF中,EF=
BE2+BF2
=
(10-2)2+102
=
164
,
在△AHE中,AH=
EH2-AE2
=
EF2-AE2
=
164-22
=
160
＞12,
∴AH＞AD,
即点H已经不在边AD上．
故不可能有S△GFC=2；
解法二：△GFC的面积不能等于2,
∵点H在AD上,
∴菱形边长EH的最大值为2
37
,
∴BF的最大值为2
21
,
又因为函数S△GFC=12-a的值随着a的增大而减小,
所以S△GFC的最小值为12-2
21
．
又∵12-2
21
＞2,
∴△GFC的面积不能等于2．
点评：解决本题的关键是证明三角形全等．
再问：话说题不一样哎