若A是奇数阶正交阵,且|A|=1,则1是A的一个特征值

题目应该是哪里抄错了,下面构造例子说明这一点.设2阶矩阵C(t)=[cos(t),sin(t);-sin(t),cos(t)],可知C(t)正交且|C(t)|=1.对n=3,考虑3阶分块矩阵A=[-1

(1)因为A是一个n阶正交矩阵所以AA'=E所以|A+E|=|A(E+A')|=|A||A'+E|=|A||A+E|=-|A+E|则|A+E|=-|A+E|=0(2)同理|A-E|=|A(E-A')|

利用行列式性质：｜AB｜＝｜A｜｜B｜,及｜A‘｜＝｜A｜.|(A-B)(A+B)|=|(A-B)||(A+B)|=|(A-B)'|*|(A+B)|=|(A'-B')||(A+B)|=|(A'-B')

|E-A|=|E-A|×|A'|=|A'-AA'|=|A'-E|=|A-E|=|-(E-A)|=(-1)^n|E-A|=-|E-A|,所以|E-A|=0.其中A'代表A的转置

最后是证明行列式为0,不是证明矩阵乘积为0.反证法：若A-B和A+B都非奇异,则(A-B)^T(A+B)=A^TA-B^TA+A^TB-B^TB=A^TB-B^TA是非奇异阵,但A^TB-B^TA是奇

A正交,则A的特征值的模是1又detA=－1=所有特征值的乘积,共轭复特征值成对出现所以必有特征值是－1再问：能写下证明过程吗？^ω^再答：再问：为什么A的转置等于A?再答：

因为A正交,所以AA^T=E两边取行列式得|A||A^T|=|E|所以|A|^2=1所以|A|=1or-1故A可逆.再由AA^T=E,得A^-1=A^T所以(A^-1)(A^-1)^T=(A^T)(A

知识点:(A*)^T=(A^T)*因为A是正交的,所以A^TA=E(或AA^T=E)所以(A^TA)*=E*所以A*(A^T)*=E所以A*(A*)^T=E所以A*是正交矩阵.

证明:由已知,AA'=E所以|E-A|=|AA'-A|=|A(A'-E)|=|A||A'-E|=1*|(A-E)'|=|A-E|=|-(E-A)|=(-1)^n|E-A|=-|E-A|.故|E-A|=

当|A|=-1时.|A+E|=|A+AA'|=|A(E+A')|=|A||E+A'|=|A||(E+A)'|=-|E+A|.所以|A+E|=0.所以-1是A的一个特征值

A的特征值只能是1或-1,注意到（A+E)(E-A）=0,线代数上应该证明此时有r(A+E)+r(A-E)=n,也就是Ax=x的解空间和Ax=-x的解空间维数之和是n.在Ax=x中取标准正交向量组q1

证明：A是奇数阶正交矩阵则A*AT=E,(AT为A的转置）而对于：det(E-A)则代入A*AT=Edet(E-A)=det(A*AT-A)=det(A)*det(AT-E)det(AT-E)=det

反证法：因为正交阵特征值的模均为1,且复特征值成对出现,所以若1不是A的特征值,那么A的特征值只有-1,以及成对出现的复特征值.注意到A是奇数阶的,所以除去成对出现的复特征值后必有奇数个特征值-1.这

因为A,B为正交矩阵,所以┃A┃┃A+B┃=┃A’┃┃A+B┃=┃E+A’B┃=┃B’B+A’B┃=┃B’+A’┃┃B┃=┃A+B┃B┃=-┃A┃┃A+B┃.所以┃A┃┃A+B┃=0.所以┃A+B┃=

因为A是正交阵,所以AA'=E,且(A')'A'=(AA')'=E'=E,所以据正交阵的定义可得：A'是正交矩阵

|A|表示A的行列式,行列式是能计算出来的,是一个具体的数哦,所以这里|A|是当一个常数一样得提出来做乘积,当然不需要做转置.

(1)因为A是一个n阶正交矩阵所以AA'=E所以|A+E|=|A(E+A')|=|A||A'+E|=|A||A+E|=-|A+E|则|A+E|=-|A+E|=0(2)我估计您Z打错了|A-E|=|A(

A正交说明|A|=1或者-1A*=|A|A逆=±A'('表示转置所以A*乘(A*)'=±A'乘(±A')'=A'A=E所以A*亦正交

A为n阶正交矩阵,A'A=E（1）若|A|=-1|E+A|=|A'A+A|=|A'(A+E)|=|A'|*|A+E|=|A||A+E|=-|A+E|=0（2）若n为奇数,且|A|=1|E-A|=|AA

因为A是正交矩阵所以AA^T=E故有A^TA=E=A^T(A^T)^T所以A^T是正交矩阵再由AA^T=E等式两边取行列式得|A|^2=|A||A|=|A||A^T|=|AA^T|=|E|=1所以|A