如图,E是直线AC上一点,EF.EG分别是角AEB,角BEC的平分线

因为AD=EB所以AD-BD=EB-BD即AB=ED在三角形ABC与三角形EDF中：AC=EFBC=DFAB=ED(已证)所以三角形ABC全等于三角形EDF（SSS）所以∠A=∠E又因为A、B、D、E

过B作AC平行线,交AD延长线于点GAC//BG,BD=CD==〉AD=GD==〉ABGC为平行四边形==〉AC=BGAC//BG==〉角CAG=角BGA又因为AE=EF==〉角CAG=角EFA角EF

DF与AE互相平分证明：设DF与AE的交点为O∵DF∥BE,BD∥EF∴四边形BDFE是平行四边形∴EF=BD∵D是AB中点∴AD=BD=EF∵AD∥EF∴△AOD≌△EOF∴OA=OE,OD=OF∴

证明：连EDABCD是正方形∴BC=CD∠BCE=∠DCE=45°∴△BCE≡△DCE∴BD=DE又FEGD是矩形∴ED=FG∴BE=FG

以你的图说明（AH之间的点为点E）∠GAH=∠AHF=∠AGF=90°根据四边形内角和为360°有：∠GFH=90°所以有：∠BFG+∠GFE=∠BFE=90°∠GFE+∠EFH=∠GFH=90°所以

解法一：EF平行于AB,DF平行于BE,可以得到四边形DBEF是平行四边形.BD‖EF,BD=EF.D是AB的中点,AD‖EF,AD=EF.∴四边形ADEF是平行四边形,所以DF与AE是互相平分.解法

令AE与DF的交点为G∵DF‖BE,EF‖AB∴DBEF是平等四边形∴DB=EF又∵EF‖AB∴∠GAD=∠GEF,∠GDA=∠GFE∴ΔGAD≌ΔGEF∴AG=EG,DG=FG∴AE•D

证明：∵∠1=∠3,∠1=∠2,∴∠2=∠3,∴BD∥CE；∴∠C=∠ABD,∵∠C=∠D,∴∠ABD=∠D,∴DF∥AC；∴∠A=∠F．

∵D是AB的中点∴AD=BD∵EF‖AB,DF‖BE∴四边形BEFD是平行四边形∴EF=BD=AD∵EF‖AB∴EF‖AD∵EF‖AD,EF=AD∴四边形AFED是平行四边形∴DF、AE是平行四边形A

1）AE与DF互相平分（2）证明：连接DE,AF∵EF‖AB,DF‖BE∴四边形BEFD是平行四边形∴BD=EF∵D是AB中点∴AD=BD=EF∴四边形ADEF是平行四边形∴AE与DF互相平分

（1）DF与AE互相平分；∵D是AB的中点，∴AD=BD，∵EF∥AB，DF∥BE，∴四边形BEFD是平行四边形，∴EF=BD=AD，∵EF∥AB，∴EF∥AD，∵EF∥AD，EF=AD，∴四边形AF

⑴连结OD交BC于G∵D是弧BC的中点∴OD⊥BC∴∠CGD＝90°∵AB是直径∴∠ADB＝90°＝∠E∴∠EDG＝360°－∠E－∠ECG－∠CGD＝90°∴OD⊥EF∴EF是半圆的切线⑵设⊙O的半

因为ad是角平分线所以∠cad=∠ead在三角形acg和三角形aeg中{∠cad=∠eadad=ad∠agc=∠age所以全等所以cg=ge所以三角形cdg全等于三角形dge（sas）所以∠ecd＝∠

根据LZ的给出的条件,我也画了几何图形,不用证明,直观就可以看出,如果四边形ABCD不是平行四边形,那么题目要求的答案是否定的,即EF不经过AC的中点.详见附图.如果ABCD是平行四边形,那求证的过程

（1）AE与DF互相平分（2）证明：连接DE,AF∵EF‖AB,DF‖BE∴四边形BEFD是平行四边形∴BD=EF∵D是AB中点∴AD=BD=EF∴四边形ADEF是平行四边形∴AE与DF互相平分

证明：易得∠DHE=∠CHF=60°(对顶角相等)∵AB∥CD∴∠EKG=∠DHF=60°∴∠EGK=180°-(∠EKG+∠KEG)=180°-90°=90°故△EKG是直角三角形.//------

作辅助线EB因为AE=AB所以角AEB=角ABE因为角AEB+角FEB=90,角ABE+角FBE=90所以,角FEB=角FBEEF=BF因为ABCD为正方形,EF⊥AC,所以角ECF=角CFE=45所

证明：过点C作CG⊥DF于G∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB∵∠ECF＝∠ACB∴∠ECF＝∠B∵FD⊥AB,CH⊥AB,CG⊥DF∴矩形CGDH∴CH＝DG,CG∥AB∴∠GCF＝∠B∴∠ECF＝∠GC

∠FAD=∠DEB∴要使△ADF∽△EDB有2种情况1∠BDE=∠ADF∵∠ADF=∠EDC∴∠BDE=∠EDC∵FE⊥BC∴∠DBE=∠C=∠ABD∵∠DBE+∠C+∠ABD=90°∴∠C=30°k

1.DF平分AE