如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、H分别是棱BB1、CC1、DD1的中点．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/30 06:10:37

如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、H分别是棱BB₁、CC₁、DD₁的中点．
（Ⅰ）求证：BH∥平面A₁EFD₁；
（Ⅱ）求直线AF与平面A₁EFD₁所成的角的正弦值．

（Ⅰ）证明：连接D₁E，BE＝
1
2BB1，HD1＝
1
2DD1，BB1∥DD1，BB₁=DD₁
∴BE∥HD₁，BE=HD₁，即BED₁H为平行四边形
∴BH∥ED₁
∵BH⊄平面A₁EFD₁，ED₁⊂A₁EFD₁
∴BH∥A₁EFD₁（7分）
（Ⅱ）过A作AG⊥A₁E，垂足为G．
∵A₁D₁⊥平面A₁ABB₁，AG⊆A₁ABB₁∴A₁D₁⊥AG，
EA₁∩A₁D₁=A₁∴AG⊥平面A₁EFD₁．
连接FG，则∠AFG为所求的角．（9分）
在△AA₁G中，AG•EA₁=AA₁•AB
∴AG＝
2

5a＝
2
5
5a
连接AC则AC＝
2a∴AF＝
2a2+
a2
4＝
3a
2
∴sin∠AFG＝
AG
AF＝
4
5
15
∴F与平面A₁EFD₁所成的角的正弦值为
4