作业帮一道关于高斯函数和阶乘的高中数学竞赛题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 20:09:07
一道关于高斯函数和阶乘的高中数学竞赛题
n>=5,求证(n-1)| [(n-1)!/n]成立!
n>=5,求证(n-1)| [(n-1)!/n]成立!
好吧,我来给一个证明：
证明：
首先把n分为素数和合数两类：
当n为合数时,其必有小于n-1的因子,记n=a*b,(a,b2时,显然a,2a都在(n-2)!里面,这个应该理解吧,那么(n-2)!/a^2是理所当然的,结论亦成立.
当n为素数时,记n=p,由于 [(p-1)!/p]=[(p-1)[( p-2)!/p]+(p-1){(p-2)!/p}]=(p-1)[(p-2)!/p]+[{(p-1)(p-2)!/p}]}],这样,我们证明后面一项为0,即{(p-1)(p-2)!/p}5 时(n-1)| [(n-1)!/n]成立.
当然证明可能繁琐,还有些记号没做标注,但总体证明应该没错了.
证明：
首先把n分为素数和合数两类：
当n为合数时,其必有小于n-1的因子,记n=a*b,(a,b2时,显然a,2a都在(n-2)!里面,这个应该理解吧,那么(n-2)!/a^2是理所当然的,结论亦成立.
当n为素数时,记n=p,由于 [(p-1)!/p]=[(p-1)[( p-2)!/p]+(p-1){(p-2)!/p}]=(p-1)[(p-2)!/p]+[{(p-1)(p-2)!/p}]}],这样,我们证明后面一项为0,即{(p-1)(p-2)!/p}5 时(n-1)| [(n-1)!/n]成立.
当然证明可能繁琐,还有些记号没做标注,但总体证明应该没错了.