作业帮一道高中数学竞赛题（急）
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 07:24:58
一道高中数学竞赛题（急）
已知C： x^2+(y-1/2)^2=r^2与y=sinx 的图象有唯一交点,且交点的横坐标为a ,则
(sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa的值等于?
答案是-4a
为什么?
已知C： x^2+(y-1/2)^2=r^2与y=sinx 的图象有唯一交点,且交点的横坐标为a ,则
(sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa的值等于?
答案是-4a
为什么?
x^2+(y-1/2)^2=r^2与y=sinx 的图象有唯一交点,说明圆心在(0,1/2),半径为r的圆与y=sinx图像相切.通过作图可知此点在第一象限.
因为是切点,所以(0,1/2)和(a,sina)之间直线和y=sinx在(a,sina)处的切线相垂直,即(1/2-sina)/(-a)*cosa=-1,化简得：sin2a-cosa=-2a
(sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa={sina+[3sina-4(sina)^3]-2(cosa)^2}/cosa={4sina-4(sina)^3-2(cosa)^2}/cosa=4sinacosa-2cosa=2(sin2a-cosa)=-4a
因为是切点,所以(0,1/2)和(a,sina)之间直线和y=sinx在(a,sina)处的切线相垂直,即(1/2-sina)/(-a)*cosa=-1,化简得：sin2a-cosa=-2a
(sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa={sina+[3sina-4(sina)^3]-2(cosa)^2}/cosa={4sina-4(sina)^3-2(cosa)^2}/cosa=4sinacosa-2cosa=2(sin2a-cosa)=-4a