（2014•河南二模）已知函数f（x）=（ax+1）ln（x+1）-x．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/30 16:39:54

（2014•河南二模）已知函数f（x）=（ax+1）ln（x+1）-x．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）求证：当x＞0时

ln(x+1)

−

＜

（1）当a=1时，f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，则f′（x）=ln（x+1）
令f′（x）＞0，可得x＞0，令f′（x）＜0，可得-1＜x＜0，
∴函数的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（-1，0）；
（2）证明：当x＞0时，欲证
1
ln(x+1)−
1
x＜
1
2恒成立，只需证明当x＞0时，ln(x+1)＞
2x
x+2
构造函数g（x）=ln(x+1)−
2x
x+2，则g′（x）=
1
x+1−
4
(x+2)2=
x2
(x+1)(x+2)2＞0
∴g（x）=ln(x+1)−
2x
x+2在（0，+∞）上单调递增
∴g（x）＞g（0）=0
∴当x＞0时，ln(x+1)＞
2x
x+2
∴当x＞0时，
1
ln(x+1)−
1
x＜
1
2恒成立；
（3）(1+
1
n)n+a≥e等价于（n+a）ln（1+
1
n）≥1
∴a≥
1
ln(1+
1
n)−n
∵当x＞0时，
1
ln(x+1)−
1
x＜
1
2恒成立，∴
1
ln(1+
1
n)−n＜
1
2
∴a≥
1
2
∴常数a的最小值为
1
2．

（2014•河南二模）已知函数f（x）=（ax+1）ln（x+1）-x．已知函数f(x)=ln(ax)/(x+1) - ln(ax) + ln(x+1),（a不等于0且为R） 1.求函数f(x 已知函数f（x）=x-1/2ax^-ln（x+1）已知函数f（x）=ln（x+1）－x+ax² 已知函数f（x）=ln（x+1）-ax^2-x 已知函数f(x)=ln(ax)/(x+1) - ln(ax) + ln(x+1),（a不等于0且为R）已知函数f（x）=ln（ex+1）-ax（a＞0）．已知函数f（x）=ln（x+1）, 已知函数f（x）=ln(ax+1)+x^2-ax,a>0 讨论单调区间已知函数f（x）=ln（2-x）+ax．已知函数f（x）=x^2-2x+ln[(1-x)/(1+x)] 已知函数f（x）=ln（ax）/（x+1)+ln(x+1)-ln(ax)(a不等0,a属于R） (1)求函数f（x）的定