证明在复数域上若m阶方阵A与n阶方阵B没有公共的特征根,则矩阵方程AX=XB只有零解.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 11:04:54

把X按列拉成向量vec(X),那么原方程等价于
(I*A-B^T*I)vec(X)=0
其中I*A和B^T*I都是Kronecker乘积.注意I*A-B^T*I的特征值恰好是所有的λ_i-μ_j,其中λ_i和μ_j分别是A和B的特征值,从而结论成立.
也可以用上三角化来证明,比如P^{-1}AP=S和Q^{-1}BQ=T都是Jordan标准型,那么原方程等价于SY-YT=0,其中Y=PXQ^{-1},然后可以逐列推出Y=0.

证明在复数域上若m阶方阵A与n阶方阵B没有公共的特征根,则矩阵方程AX=XB只有零解. 设A为n阶方阵,B为n阶可逆阵,若存在正整数k使A^k=O,则矩阵方程AX=XB仅有零解 a,b均为n阶方阵,b为幂零矩阵a可逆矩阵,且ab可交换,证明a与a+b有相同的特征多项式设n阶方阵A的行列式为零,则线性方程组Ax=b 设A是N阶方阵,若存在N阶方阵B不等于零,使AB=0（矩阵）,证明R(A) 线形代数矩阵题A,B是n阶方阵,且A与B有相同的n个互异的特征根.证明：存在P,Q使A=QP,B=PQ,其中P,Q中有一设A,B,c均为n阶方阵,B可逆,则矩阵方程A+BX=C的解复数域上n阶方阵A,证明A可表示成可对角化的矩阵B和一个幂零矩阵C的和,且BC=CB 证明:设A,B分别是m,n阶方阵,则分块矩阵 0 A B C 的行列式 = (-1)^mn |A||B|. 设A,B是N阶方阵,f(x）是B的特征多项式,证明f(A)是可逆矩阵的充分必要条件是A与B没有相同的特征值. 线性方程组证明设A是n阶方阵,Ax=0只有零解,求证,对任意正整数k,A^kx=0（A的k次方x）也只有零解设A为n阶方阵,若对任意n*1矩阵B,AX=B都有解,则A是可逆阵,证明