设A为n阶方阵,B为n阶可逆阵,若存在正整数k使A^k=O,则矩阵方程AX=XB仅有零解

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/25 08:12:56

设A为n阶方阵,B为n阶可逆阵,若存在正整数k使A^k=O,则矩阵方程AX=XB仅有零解
方程两边左乘A^(k-1),A^(k)X=A^(k-1)XB=O
对A^(k-1)XB=O右乘B的逆矩阵,A^(k-1)X=O
由于A^(k-1)不恒为O,所以X=O
这样证明对吗.

要多说明一点,你取的k是最小的使得A^k=0的自然数k.
等等-由于A^(k-1)不恒为O,所以X=O-好像有问题...我想一下.
这句话应该是对的,但是我要证明的话要用到Jordan形式...(就是只有对角线上面有1的那种)
我想一下有没有简单的解...
简单点的解:
我们现在其实是要证明X->AX-XB这个线性映射是个单射.这个映射有个矩阵.
不难证明这个矩阵的特征值就是所有的(a-b),a和b为A或B的特征值.
但是A是幂零元,所以A的特征值都是0.
所以只剩下了B的特征值,但B的特征值都不是0因为B可逆.
所以X->AX-XB也是一个可逆的映射.
所以AX-XB的解唯一.但是X=0为显然解,所以是唯一解.

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