作业帮求证：几何平均值不大于算术平均值
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 15:59:45
求证：几何平均值不大于算术平均值
柯西的证明
1821年,法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：
命题Pn：对任意的 n 个正实数,
1.当 n=2 时,P2 显然成立.
2.假设 Pn 成立,那么 P2n 成立.证明：对于2n 个正实数,
3.假设Pn成立,那么Pn − 1成立.证明：对于n - 1 个正实数,设,那么由于Pn成立,.
但是 ,,因此上式正好变成
综合以上三点,就可以得到结论：对任意的自然数 ,命题 Pn 都成立.这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数 k,命题 都成立.因此对任意的 ,可以先找 k 使得 ,再结合第三条就可以得到命题 Pn 成立了.
[编辑] 归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：
由对称性不妨设 xn + 1 是 中最大的,由于 ,设 ,则 ,并且有 .
根据二项式定理,
于是完成了从 n 到 n + 1 的证明.
此外还有更简洁的归纳法证明[3]：
在 n 的情况下有不等式 和 成立,于是：
所以 ,从而有
1821年,法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：
命题Pn：对任意的 n 个正实数,
1.当 n=2 时,P2 显然成立.
2.假设 Pn 成立,那么 P2n 成立.证明：对于2n 个正实数,
3.假设Pn成立,那么Pn − 1成立.证明：对于n - 1 个正实数,设,那么由于Pn成立,.
但是 ,,因此上式正好变成
综合以上三点,就可以得到结论：对任意的自然数 ,命题 Pn 都成立.这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数 k,命题 都成立.因此对任意的 ,可以先找 k 使得 ,再结合第三条就可以得到命题 Pn 成立了.
[编辑] 归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：
由对称性不妨设 xn + 1 是 中最大的,由于 ,设 ,则 ,并且有 .
根据二项式定理,
于是完成了从 n 到 n + 1 的证明.
此外还有更简洁的归纳法证明[3]：
在 n 的情况下有不等式 和 成立,于是：
所以 ,从而有