1^k+2^k+3^k+4^k+5^k.+n^k数列和公式的推导

1^k+2^k+3^k+4^k+5^k.+n^k数列和公式的推导
根据1x2+2x3+3x4+.n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
1x2x3+2x3x4+3x4x5.n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)/4
.
以及整数平方数列和,整数立方数列和进行推导.
谢谢哪位高手可以帮忙.
这个答案分开看是看懂了。但是我没办法把最后的答案跟1^k+2^k+3^k+4^k+....n^k的数列和推导联系起来。可否请再详解一番。

平方数列和:
1^2+2^2+3^2+...+n^2=(1*0+1)+(2*1+2)+(3*2+3)+...+(n*(n-1)+n)
=1*0+2*1+3*2+...+n*(n-1)+1+2+3+...+n
=(n+1)n*(n-1)/3+n*(n+1)/2
=n*(n+1)*(2n+1)/6
立方数列和:
因为:m*(m-1)*(m-2)=m^3-3m^2+2m
所以:m^3=m*(m-1)*(m-2)+3m^2-2m
1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1*0*(-1)+3*1^2-2*1) + (2*1*0+3*2^2-2*2)+...+(n*(n-1)*(n-2)+3n^2-2n)
=1*0*(-1)+2*1*0+...+n*(n-1)*(n-2)+3*1^2+3*2^2+...+3n^2-2*1+2*2+...+2n
=(n+1)*n*(n-1)*(n-2)/4+3*n*(n+1)*(2n+1)/6-2*n*(n+1)/2
=(n+1)*n*(n-1)*(n-2)/4+n*(n+1)(*(2n-1)/2
=n*(n+1)[(n-1)*(n-2)+2(2n-1)]/4
=n*(n+1)*(n^2+n)/4
=n^2*(n+1)^2/4
=[n*(n+1)/2]^2
不知道你对排列组合是否懂.
设C[m,n]=m*(m-1)(m-2)*...*(m-n+1)/n!(其中m>n)
如:C[6,2]=6*5/(2*1)=15 (6个中选两个的组合数)
有公式:C[m,n]=C[m-1,n]+C[m-1,n-1]
可这样理解:
在m个东西中要选n个的组合数:C[m,n]
在m个东西中要取n个,分两步取,假设A.当取n个东西时,A有取到和不取两种情况.
当未取A时组合数为C[m-1,n]
当取A时组合数为C[m-1,n-1]
所以:C[m,n]=C[m-1,n]+C[m-1,n-1]
同理:C[m-1,n]=C[m-2,n]+C[m-2,n-1]
C[m,n]=C[m-1,n]+C[m-1,n-1]=C[m-2,n]+C[m-2,n-1] +C[m-1,n-1]
...=C[m-(m-n),n]+C[m-(m-n),n-1]+C[m-(m-n)+1,n-1]+...+C[m-2,n-1] +C[m-1,n-1]
=C[n,n]+C[m-(m-n),n-1]+C[m-(m-n)+1,n-1]+...+C[m-2,n-1] +C[m-1,n-1]
因为:C[n,n]=1,同样:C[n-1,n-1]=1,因此:C[n,n]=C[n-1,n-1]
上式=C[n-1,n-1]+C[m-(m-n),n-1]+C[m-(m-n)+1,n-1]+...+C[m-2,n-1] +C[m-1,n-1]
=C[n-1,n-1]+C[n,n-1]+C[n+1,n-1]+...+C[m-2,n-1] +C[m-1,n-1]
因此得到公式:
C[m,n]=C[n-1,n-1]+C[n,n-1]+C[n+1,n-1]+...+C[m-2,n-1] +C[m-1,n-1]
即:
m*(m-1)(m-2)*...*(m-n+1)/n!=(n-1)*(n-2)(n-3)*...*1/(n-1)!+n*(n-1)(n-2)*...*2/(n-1)!+...
+(m-2)*(m-3)(m-4)*...*(m-n-1)/(n-1)!+(m-1)*(m-2)(m-3)*...*(m-n)/(n-1)!
同时乘以(n-1)!得:m*(m-1)(m-2)*...*(m-n+1)/n=(n-1)*(n-2)(n-3)*...*1+n*(n-1)(n-2)*...*2+...
+(m-2)*(m-3)(m-4)*...*(m-n-1)+(m-1)*(m-2)(m-3)*...*(m-n)
整理一下得:
1*2*3*...*(n-2)*(n-1) + 2*3*4*...*(n-1)*n + ......+ (m-n-1)*(m-n)*...*(m-2) + (m-n)*(m-n+1)*...*(m-1)
=m*(m-1)(m-2)*...*(m-n+1)/n