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在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 16:58:09
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．

（Ⅰ）探究新知
如图①，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．
（1）求证：内切圆的半径r1=1；
（2）求tan∠OAG的值；
（Ⅱ）结论应用
（1）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2的值；
（2）如图③，若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均与AB相切，求rn的值．
（Ⅰ）（1）证明：在图①中，连接OE，OF，OA．
∵⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．
∴OF⊥BC，OE⊥AC，∠ACB=90°，
∴四边形CEOF是矩形，
又∵EO=OF，
∴四边形CEOF是正方形，
CE=CF=r1．
又∵AG=AE=3-r1，BG=BF=4-r1，
AG+BG=5，
∴（3-r1）+（4-r1）=5．
即r1=1．

（2）连接OG，在Rt△AOG中，
∵r1=1，AG=3-r1=2，
tan∠OAG=
OG
AG=
1
2；       
         
（Ⅱ）（1）连接O1A、O2B，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E，AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC．
由tan∠OAG=
1
2，知tan∠O1AD=
1
2，
同理可得：tan∠O2BE=
O2E
BE=
1
3，
∴AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2．
∵AD+DE+BE=5，
r2=
5
7；
                                
（2）如图③，连接O1A、OnB，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E、…、OnM⊥AB交于点M．
则AO1、BOn分别平分∠CAB、∠ABC．
tan∠O1AD=
1
2，tan∠OnBM=
1
3，
AD=2rn，DE=2rn，…，MB=3rn，
又∵AD+DE+…+MB=5，
2rn+2rn+…+3rn=5，
（2n+3）rn=5，
rn=
5
2n+3．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5． Rt△ABC中,∠C=90°,BC·AC=AB方/4 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC：AC=3：4,AB=10,求AC、BC的长度. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4 在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠B=90°． 在RT△ABC中,角C=90°,AB=10,BC与AC的长度之比为3:4,则BC=------ AC=------ 如图,在RT△abc中,∠c=90°,AB=5cm,BC=3cm,AC=4cm, 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=5，求AB的长． 在RT三角形ABC中,∠C=90°,BC:AC=3:4,AB=10,求AC、AB的长度 已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC:BC:AB=3:4:5,△ABC的面积为12.求△ABC的周长和AB边上的高 在Rt三角形ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b 如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°．⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，求Rt△ABC的内心