如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 08:53:48

（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．求二面角B-AP-C的大小．

（I）由题意画出图如下：
由AB=AC，D为BC的中点，得AD⊥BC，
又PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，得到PO⊥BC，
∵PO∩AD=O∴BC⊥平面PAD，故BC⊥PA．
（II）如图，在平面PAB中作BM⊥PA于M，连接CM，
∵BC⊥PA，∴PA⊥平面BMC，∴AP⊥CM，故∠BMC为二面角B-AP-C的平面角，
在直角三角形ADB中，AB2=AD2+BD2=41 得：AB=
41；
在直角三角形POD中，PD²=PO²+OD²，在直角三角形PDB中，PB²=PD²+BD²，∴PB²=PO²+OD²+BD²=36，得PB=6，
在直角三角形POA中，PA²=AO²+OP²=25，得PA=5，
又cos∠BPA=
PA2+PB2-AB2
2PA•PB=
1
3，从而sin∠BPA=
2
2
3．
故BM=PBsin∠BPA=4
2．同理：CM=4
2，
∵BM²+MC²=BC²，∴二面角B-AP-C的大小为90°．