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已知抛物线y^2=8x和圆x^2+y^2-4x=0,经过该圆的圆心的直线y=2x+m从上到下顺次交两曲线于A,B,C,D

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/01 11:44:14
已知抛物线y^2=8x和圆x^2+y^2-4x=0,经过该圆的圆心的直线y=2x+m从上到下顺次交两曲线于A,B,C,D四点
求|AB|+|CD|的值
圆化成标准形式为(x-2)^2+y^2=4,圆心是抛物线焦点(2,0),半径r=2.
直线过圆心(2,0),所以直线方程为y=2x-4
【分析:|AB|+|CD|可以看做,抛物线的焦点弦AD长-圆的直径BC长.问题转化成球AD长】
设A坐标为(xA,yA)D坐标为(xD,yD)
由抛物线定义知道|AF|=|AA'|,|DF|=|DD'|
            所以|AD|=xA+xD+4 【原理参考选修2-1,抛物线性质那节的例4】
联立方程y=2x-4-------①
        y^2=8X-------②
把①代入②中消去y得,x^2-6x+4=0
韦达定理知xA+xD=6
所以|AD|=10,|BC|=2r=4
所以|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=6