作业帮2009年河南中考数学试题.最后一题的答案详解
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 12:43:14
2009年河南中考数学试题.最后一题的答案详解
分析：（1）由于四边形ABCD为矩形,所以A点与D点纵坐标相同,A点与B点横坐标相同；
（2）①根据相似三角形的性质求出点E的横坐标表达式即为点G的横作标表达式．代入二次函数解析式,求出纵标表达式,将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答．
②若构成等腰三角形,则三条边中有两条边相等即可,于是可分EQ=EC,EC=CQ,EQ=EC三种情况讨论．若有两种情况时间相同,则三边长度相同,为等腰三角形．
（1）因为点B的横坐标为4,点D的纵坐标为8,AD∥x轴,AB∥y轴,所以点A的坐标为（4,8）．（1分）
将A（4,8）、C（8,0）两点坐标分别代入y=ax2+bx得 {16a+4b=8 64a+8b=0解得a=- 1/2,b=4,
∴抛物线的解析式为：y=- 1/2x2+4x；（3分）
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE= PE/AP= BC/AB,即 PE/AP= 4/8．
∴PE= 1/2AP= 1/2t．PB=8-t．
∴点E的坐标为（4+ 1/2t,8-t）．
∴点G的纵坐标为：- 1/2（4+ 1/2t）2+4（4+ 1/2t）=- 1/8t^2+8．（5分）
∴EG=- 1/8t^2+8-（8-t）=- 1/8t^2+t．
∵- 1/8＜0,∴当t=4时,线段EG最长为2．（7分）
②共有三个时刻．（8分）
（①）当EQ=QC时,
因为Q（8,t）,E（4+ 1/2t,8-t）,QC=t,
所以根据两点间距离公式,得：
（ 1/2t-4）^2+（8-2t）^2=t^2．
整理得13t^2-144t+320=0,
解得t= 40/13或t= 104/13=8（此时E、C重合,不能构成三角形,舍去）．
（②）当EC=CQ时,
因为E（4+ 1/2t,8-t）,C（8,0）,QC=t,
所以根据两点间距离公式,得：
（4+ 1/2t-8）^2+（8-t）^2=t^2．
整理得t^2-80t+320=0,t=40-16 根号5,t=40+16 根号5＞8（此时Q不在矩形的边上,舍去）．
（③）当EQ=EC时,
因为Q（8,t）,E（4+ 1/2t,8-t）,C（8,0）,
所以根据两点间距离公式,得：（ 1/2t-4）^2+（8-2t）^2=（4+ 1/2t-8）^2+（8-t）^2,
解得t=0（此时Q、C重合,不能构成三角形,舍去）或t= 163．
于是t1= 16/3,t2= 40/13,t3=40-16根号 5．（11分）
点评：抛物线的求法是函数解析式中的一种,通常情况下用待定系数法,即先列方程组,再求未知系数,这种方法本题比较适合．对于压轴题中的动点问题、极值问题,先根据条件“以静制动”,用未系数表示各自的坐标,如果能构成二次函数,即可通过配方或顶点坐标公式求其极值．
（2）①根据相似三角形的性质求出点E的横坐标表达式即为点G的横作标表达式．代入二次函数解析式,求出纵标表达式,将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答．
②若构成等腰三角形,则三条边中有两条边相等即可,于是可分EQ=EC,EC=CQ,EQ=EC三种情况讨论．若有两种情况时间相同,则三边长度相同,为等腰三角形．
（1）因为点B的横坐标为4,点D的纵坐标为8,AD∥x轴,AB∥y轴,所以点A的坐标为（4,8）．（1分）
将A（4,8）、C（8,0）两点坐标分别代入y=ax2+bx得 {16a+4b=8 64a+8b=0解得a=- 1/2,b=4,
∴抛物线的解析式为：y=- 1/2x2+4x；（3分）
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE= PE/AP= BC/AB,即 PE/AP= 4/8．
∴PE= 1/2AP= 1/2t．PB=8-t．
∴点E的坐标为（4+ 1/2t,8-t）．
∴点G的纵坐标为：- 1/2（4+ 1/2t）2+4（4+ 1/2t）=- 1/8t^2+8．（5分）
∴EG=- 1/8t^2+8-（8-t）=- 1/8t^2+t．
∵- 1/8＜0,∴当t=4时,线段EG最长为2．（7分）
②共有三个时刻．（8分）
（①）当EQ=QC时,
因为Q（8,t）,E（4+ 1/2t,8-t）,QC=t,
所以根据两点间距离公式,得：
（ 1/2t-4）^2+（8-2t）^2=t^2．
整理得13t^2-144t+320=0,
解得t= 40/13或t= 104/13=8（此时E、C重合,不能构成三角形,舍去）．
（②）当EC=CQ时,
因为E（4+ 1/2t,8-t）,C（8,0）,QC=t,
所以根据两点间距离公式,得：
（4+ 1/2t-8）^2+（8-t）^2=t^2．
整理得t^2-80t+320=0,t=40-16 根号5,t=40+16 根号5＞8（此时Q不在矩形的边上,舍去）．
（③）当EQ=EC时,
因为Q（8,t）,E（4+ 1/2t,8-t）,C（8,0）,
所以根据两点间距离公式,得：（ 1/2t-4）^2+（8-2t）^2=（4+ 1/2t-8）^2+（8-t）^2,
解得t=0（此时Q、C重合,不能构成三角形,舍去）或t= 163．
于是t1= 16/3,t2= 40/13,t3=40-16根号 5．（11分）
点评：抛物线的求法是函数解析式中的一种,通常情况下用待定系数法,即先列方程组,再求未知系数,这种方法本题比较适合．对于压轴题中的动点问题、极值问题,先根据条件“以静制动”,用未系数表示各自的坐标,如果能构成二次函数,即可通过配方或顶点坐标公式求其极值．
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