作业帮一道线性代数特征值的题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 13:46:29
一道线性代数特征值的题
只需要做25题，提示是说利用A^2=kA k=sigma(ai^2)
只需要做25题，提示是说利用A^2=kA k=sigma(ai^2)
A是实对称矩阵,当然可以对角化,还可以正交对角化
注意rank(A)=1,所以A的n-1个特征值是0,余下那个特征值是tr(A)=tr(αα^T)=αα^T
所以关键是求特征向量.
显然与α正交的列都是0的特征向量,而α^T是αα^T的特征向量,把它们放在一起就可以构造出P.
另一种更具体的构造是这样,只要能构造一个正交阵P使得Pα^T=±||α||e_1,e_1是单位阵的第一列
然后P^TAP=αα^Te_1e_1^T
P可以这样构造,v=α^T-||α||e_1,w=v/||v||,P=I-2ww^T.
注意rank(A)=1,所以A的n-1个特征值是0,余下那个特征值是tr(A)=tr(αα^T)=αα^T
所以关键是求特征向量.
显然与α正交的列都是0的特征向量,而α^T是αα^T的特征向量,把它们放在一起就可以构造出P.
另一种更具体的构造是这样,只要能构造一个正交阵P使得Pα^T=±||α||e_1,e_1是单位阵的第一列
然后P^TAP=αα^Te_1e_1^T
P可以这样构造,v=α^T-||α||e_1,w=v/||v||,P=I-2ww^T.