设t1,t2,t3为3阶矩阵A的三个互不相同的特征值,相应的特征向量依次为a1,a2,a3,令b=a1+a2+a3,证明
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/28 13:47:09
设t1,t2,t3为3阶矩阵A的三个互不相同的特征值,相应的特征向量依次为a1,a2,a3,令b=a1+a2+a3,证明b,Ab,A^2b线性无关
反证法.
如果它们线性相关,即存在不全为零的实数 p,q,r 使得 pb+qAb+rA^2b=0,将
b=a1+a2+a3 代入并且由a1,a2,a3 是对应于 t1,t2,t3 的特征值可得:
p(a1+a2+a3)+qA(a1+a2+a3)+rA^2(a1+a2+a3)
=p(a1+a2+a3)+q(t1a1+t2a2+t3a3)+r(t1^2a1+t2^2a2+t3^2a3)
=(p+qt1+rt1^2)a1+(p+qt2+rt2^2)a2+(p+qt3+rt3^2)a3=0
因为矩阵不同的特征值所对应的特征向量线性无关,即a1,a2,a3 线性无关,所以上式等于0当且仅当三个系数p+qt1+rt1^2,p+qt2+rt2^2,p+qt3+rt3^2
均为0.将其写成矩阵形式就是
1 t1 t1^2 p
1 t2 t2^2 * q =0
1 t3 t3^2 r
上面等式左边是一个3×3 的Vandermonde矩阵,其行列式在t1,t2,t3互不相等时不为0,所以该矩阵可逆,因此上面关于p,q,r的方程组只有零解,即p=q=r=0,
这与开始的假设p,q,r不全为0矛盾,所以b,Ab,A^2b线性无关.
如果它们线性相关,即存在不全为零的实数 p,q,r 使得 pb+qAb+rA^2b=0,将
b=a1+a2+a3 代入并且由a1,a2,a3 是对应于 t1,t2,t3 的特征值可得:
p(a1+a2+a3)+qA(a1+a2+a3)+rA^2(a1+a2+a3)
=p(a1+a2+a3)+q(t1a1+t2a2+t3a3)+r(t1^2a1+t2^2a2+t3^2a3)
=(p+qt1+rt1^2)a1+(p+qt2+rt2^2)a2+(p+qt3+rt3^2)a3=0
因为矩阵不同的特征值所对应的特征向量线性无关,即a1,a2,a3 线性无关,所以上式等于0当且仅当三个系数p+qt1+rt1^2,p+qt2+rt2^2,p+qt3+rt3^2
均为0.将其写成矩阵形式就是
1 t1 t1^2 p
1 t2 t2^2 * q =0
1 t3 t3^2 r
上面等式左边是一个3×3 的Vandermonde矩阵,其行列式在t1,t2,t3互不相等时不为0,所以该矩阵可逆,因此上面关于p,q,r的方程组只有零解,即p=q=r=0,
这与开始的假设p,q,r不全为0矛盾,所以b,Ab,A^2b线性无关.
设t1,t2,t3为3阶矩阵A的三个互不相同的特征值,相应的特征向量依次为a1,a2,a3,令b=a1+a2+a3,证明
设3阶方阵A有3个互不相同的特征值n1 n2 n3 ,对应的特征向量依次为a1 a2 a3 .令B=a1+a2+a3,
设A为3阶方阵,x1,x2,x3是A的三个不同特征值,对应特征向量分别为a1,a2,a3,令b=a1+a2+a3.
线性代数证明题设a1,a2,a3为n阶方阵的3个特征向量,且对应的特征值互不相同,记β=a1+a2+a3.证明:β,Aβ
设A为3阶矩阵,a1,a2分别为A的属于特征值-1,1的特征向量,向量a3满足Aa3=a2+a3,证明a1,a2,a3线
线性代数题目(2)证明题:设A是3阶矩阵,且有3个互异的特征值U1,U2,U3对应的特征向量依次为a1,a2,a3.令B
设A为3阶矩阵,a1,a2为A的分别属于特征值-1和1的特征向量,a3满足Aa3=a2+a3.证明a1,a2,a3线性无
线性代数问题设对称阵A 其特征值互不相等 特征值对应的特征向量分别为a1,a2,a3.an则P=(a1,a2,a3.an
设3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,a1,a2,a3依次对应的特征向量设方阵B=A*-2A+3I,求B^-1的特征值及d
线性代数证明题设A为3阶矩阵,a1,a2为矩阵A的分别属于特征值-1和1的特征向量,a3满足Aa3=a2+a3,证明a1
设3阶方阵A属于特征值-1和1的特征向量是a1 a2 向量a3满足Aa1=a2+a3 证明a1 a2 a3
已知三阶矩阵A的特征值为1,2,3 对应的特征向量分别为a1,a2,a3,令P=(3a3,2a2,a1),则P^(-1)