已知函数f（x）=（x-1）e-x，x∈R，其4e是自然对数的底数．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/02 07:27:03

已知函数f（x）=（x-1）e^-x，x∈R，其4e是自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4-x），求证：当x＞2时，f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求证：x₁+x₂＞4．

（Ⅰ）∵函数f（2）=（2-1）e^-2的定义域为R，
f′（2）=e^-2-（2-1）e^-2=（8-2）e^-2
令f′（2）=0，即（8-2）e^-2=0，解上：2=8．
列表：
2 （-∞，8） 8 （8，+∞）
f′（2） + 0 -
f（2） ↑ 极大值 ↓由表可知函数f（2）=（2-1）e^-2的单调递减区间为（8，+∞），单调递增区间为（-∞，8）．
当2=8时，函数f（2）=（2-1）e^-2取上极大值f（8）=e^-8．
（Ⅱ）证明：g（2）=f（4-2）=（3-2）e^4-2，
令F（2）=f（2）-g（2）=（2-1）e^-2-（3-2）e^4-2，
∴F′（2）=（8-2）e^-2-（8-2）e^4-2=
(8−2)(e4−e82)
e2+4．
当2＞8时，8-2＜0，82＞4，从而e⁴-e⁸²＜0，
∴F′（2）＞0，F（2）在（8，+∞）是增函数．
∴F（2）＞F（8）=e^-8-e^-8=0，
故当2＞8时，f（2）＞g（2）．
（Ⅲ）证明：∵f（2）在（-∞，8）内是增函数，在（8，+∞）内是减函数．
∴当2₁≠2₈，且f（2₁）=f（2₈），2₁、2₈不可能在同8单调区间内．
不妨设2₁＜8＜2₈，由（Ⅱ）可知f（2₈）＞g（2₈），
又g（2₈）=f（4-2₈），∴f（2₈）＞f（4-2₈）．
∵f（2₁）=f（2₈），∴f（2₁）＞f（4-2₈）．
∵2₈＞8，4-2₈＜8，2₁＜8，且f（2）在区间（-∞，8）内为增函数，
∴2₁＞4-2₈，即2₁+2₈＞4．

已知函数f(X)=ke^x-x² （其中k∈R,e是自然对数的底数）已知函数f（x）=x-1+aex（a∈R，e为自然对数的底数）．已知函数f（X）=(aX^2+X)e^x,其中e是自然对数的底数,a属于R.（1）若f（x）在[ 已知函数f(x)=(ax^2+x)e^x,其中e是自然对数的底数,a∈R 已知函数f(x)=(ax2+x)e^x,其中e是自然对数的底数,a∈R 已知函数f（x）=（ax2-2x+1）•e-x（a∈R，e为自然对数的底数）．已知a∈R，函数f（x）=（-x2+ax）e-x（x∈R，e为自然对数的底数）．已知函数f（x）=（x+1）e-x（e为自然对数的底数）．（2014•漳州二模）已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．已知函数f(x)=ex-kx,x属于R（e是自然对数的底数）已知函数f(x)=ax²－e^x(a∈R)(注:e是自然对数的底数) 已知函数f（x）=ax-ln（-x）,x∈（-e,0）其中e是自然对数的底数,a∈R