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1、设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈[0,正无穷)时,f(x)=x(1+三次根号下x),求f(x)在R上的解析式

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 19:26:56
1、设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈[0,正无穷)时,f(x)=x(1+三次根号下x),求f(x)在R上的解析式.
2、已知f(x),g(x)分别是（-a,a）上的奇函数和偶函数,求证：f(x)•g(x)是(-a,a)上的奇函数.
楼上有误
1.
令x∈(-∞,0]
则-x∈[0,+∞)
因为x∈[0,+∞)时f(x)=x(1+三次根号下x)
所以f(-x)=-x[1+三次根号下(-x)]
又因为是奇函数,所以f(x)=-f(-x)
所以f(x)=-{-x[1+三次根号下(-x)]}=x[1+三次根号下(-x)] （x∈(-∞,0])
所以f(x)在R上的解析式为：
f(x)=x[1+三次根号下(-x)] , x∈(-∞,0]
f(x)=x(1+三次根号下x) , x∈[0,+∞)
2.
令h(X)=f(x)•g(x)
则h(-X)=f(-x)•g(-x)
因为f(x),g(x)分别是（-a,a）上的奇函数和偶函数
所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)
所以h(-X)=f(-x)•g(-x)=-f(x)g(x)=-h(X)
所以h(x)是奇函数
所以f(x)•g(x)是奇函数
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