1.已知ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于O,四边形AEFC是菱形,EH⊥AC,垂足为H,求证:EH=1/2FC

1.已知ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于O,四边形AEFC是菱形,EH⊥AC,垂足为H,求证:EH=1/2FC
2.以Rt△ABC的两直角边AB,AC向外作正方形ABDM,ACEN,由∠BAM,∠CAN的对角的顶点D.E分别向斜边所在直线作垂线DF,EG,垂足为F,G.
求证:(1)BC=DF+EG;(2)S△ABC=S△FBD+S△CEG
3.点M,N为正方形ABCD的边BC,CD上的点,已知△MCN的周长等于正方形ABCD的周长的一半,求∠MAN的度数
4.在正方形ABCD中,点Q在CD上,且DQ=CQ,点P在BC上,且AP=CD+CP.求证:AQ平分∠DAP
5.在△ABC中,∠C=90°AC=BC,在AB上任取一点P作PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,M为AB的中点.求证:△MEF是等腰三角形
6.在△ABC中,∠C=90°,CF是斜边上的高,AT平分∠CAB,交CF于D,交CB于T,过点D作DE//AB交BC于E.求证:CT=BE
7.在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,交AD于点H,且AE=BE.试证明AH=2BD
1.已知ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于O,过B作BF//AC,连接FC,使AC=FC,在BF上取一点E,作EH⊥AC,垂足为H,连接AE,四边形AEFC是菱形,求证:EH=1/2FC

.已知ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于O,四边形AEFC是菱形,EH⊥AC,垂足为H,求证:EH=1/2FC
EH=1/2FC
理由如下：
ACFE为菱形==>AC平行EF,AC=FC
正方形ABCD中==>AC垂直BD,AC=BD
因为EH⊥AC
所以EH平行BD,
AC平行EF(已证）,
所以DOHE是平行四边形.
所以EH=OD=1/2AC
所以EH=1/2FC
2.以Rt△ABC的两直角边AB,AC向外作正方形ABDM,ACEN,由∠BAM,∠CAN的对角的顶点D.E分别向斜边所在直线作垂线DF,EG,垂足为F,G.
求证:(1)BC=DF+EG;(2)S△ABC=S△FBD+S△CEG
第一小题:
三角形ABC,BDF,CEG是相似的,对吧,引入两个比例系数x,y
x=DB/BC=AB/BC
y=CE/BC=AC/BC
即,x,y是这几个相似三角形的相似比.
好,那么DF=x*AB,EG=y*AC
DF+EG=x*AB+y*AC=(AB*AB+AC*AC)/BC=BC*BC/BC=BC
第二小题：
同理,DF*BF=x*AB*x*AC
CG*EG=y*AB*y*AC
上两式相加,DF*BF+CG*EG=(x*x+y*y)*AB*AC=AB*AC
上式左边和右边即为所证结论的两倍（除以2即为面积）
3.点M,N为正方形ABCD的边BC,CD上的点,已知△MCN的周长等于正方形ABCD的周长的一半,求∠MAN的度数
4.在正方形ABCD中,点Q在CD上,且DQ=CQ,点P在BC上,且AP=CD+CP.求证:AQ平分∠DAP
因为三角形MCN的周长是正方形的一半,所以:
MC+CN+NM=BC+CD=BM+MC+CN+ND.
所以BM+ND=MN.
将三角形ABM中A点固定不动,其余部分逆时针旋转90度,
这样原来的AB边就和AD边重合.
设原来的M点现在在E处,那么:
由旋转的性质可以知道:
三角形ABM全等于三角形ADE.
三角形AMN和三角形AEN中:
MN=BM+ND=DE+ND=NE,
AN是公共的边,
AM=AE.
所以三角形AMN和三角形AEN全等!
所以角MAN=角EAN=角DAN+角DAE=角DAN+角BAM.
而
角MAN+角DAN+角BAM=角BAD=90度,所以:
90度=2*角MAN.
所以:角MAN=45度.
5.在△ABC中,∠C=90°AC=BC,在AB上任取一点P作PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,M为AB的中点.求证:△MEF是等腰三角形
一样的题目：
在Rt△ABC中,AB=AC,∠A=90度,点D是BC上的任意一点,DF⊥AB,DE⊥AC,M为BC的中点,判断△MEF是什么三角
分析：M为等腰△ABC底边中点,因此不妨连结AM,应用等腰三角形“三线合一”性质定理.结论：△MEF是等腰直角三角形.
证明：连结AM
∵∠BAC=90°,AB=AC,M是BC的中点
∴AM =BM,∠BAM=∠CAM=45°,AM⊥BC
∵DF⊥AB,DE⊥AC,∠BAC=90°
∴四边形AFDE是矩形,∴DF=AE
∵DF⊥AB,∠B=45°,∴∠FDB=45°=∠B
∴BF=DF,∴BF=AE
在△BFM和△AEM中
∴FM=EM,∠BMF=∠AME
∴AM⊥BC,∴∠BMF+∠AMF=90°
∴∠AME+∠AMF=∠EMF=90°
∴△MEF是等腰直角三角形.
6.在△ABC中,∠C=90°,CF是斜边上的高,AT平分∠CAB,交CF于D,交CB于T,过点D作DE//AB交BC于E.求证:CT=BE
“角ABC=90度”应该是“角ACB=90度”?
过T作TG⊥AB于G.
△AGT≌△ACT,AG=AC,TG=TC.
DE‖AB,EB/DF=CE/CD.
△CED∽△ACF,CE/CD=AC/AF.
DF‖TG,TG/DF=AG/AF.
EB/DF=CE/CD=AC/AF=AG/AF=TG/DF=CT/DF,
EB=CT.
细节自己补充完整吧.
7.在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,交AD于点H,且AE=BE.试证明AH=2BD
显然ABE为等腰直角三角形,则AE=BE.
显然角EBC=角CAD
又因为都是直角三角形,所以BEC≌AEH
所以AH=BC
又有BD=DC
所以AH=2BD