（2006•天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/14 06:17:56

（2006•天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．
（Ⅰ）如图①，若半径为r₁的⊙O₁是Rt△ABC的内切圆，求r₁；
（Ⅱ）如图②，若半径为r₂的两个等圆⊙O₁、⊙O₂外切，且⊙O₁与AC、AB相切，⊙O₂与BC、AB相切，求r₂；
（Ⅲ）如图③，当n大于2的正整数时，若半径r_n的n个等圆⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n依次外切，且⊙O₁与AC、BC相切，⊙O_n与BC、AB相切，⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、…、⊙O_n-1均与AB边相切，求r_n．

（I）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=
AC2+BC2=10．
如图1，设⊙O₁与Rt△ABC的边AB，BC，CA分别切于点D，E，F．
连接O₁D，O₁E，O₁F，AO₁，BO₁，CO₁．
于是O₁D⊥AB，O₁E⊥BC，O₁F⊥AC．
S△AO1C＝
1
2AC•O1F＝
1
2AC•r1＝3r1，S△BO1C＝
1
2BC•O1E＝
1
2BC•r1＝4r1，S△AO1B＝
1
2AB•O1D＝
1
2AB•r1＝5r1，S△ABC＝
1
2AC•BC＝24．
又∵S△ABC＝S△AO1C+S△BO1C+S△AO1B，
∴24=3r₁+4r₁+5r₁，
∴r₁=2．

（II）如图2，连接AO₁，BO₂，CO₁，CO₂，O₁O₂，则
S△AO1C＝
1
2AC•r2＝3r2，S△BO2C＝
1
2BC•r2＝4r2．

∵等圆⊙O₁，⊙O₂外切，
∴O₁O₂=2r₂，且O₁O₂∥AB．
过点C作CM⊥AB于点M，交O₁O₂于点N，则
CM＝
AC•BC
AB＝
24
5，CN＝CM−r2＝
24
5−r2．
∴S△C

（2006•天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．（ 2006 •天津）已知 Rt △ ABC 中,∠ ACB=90 °,AC= 已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8．（Ⅰ）如图①,若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆,求已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,CD⊥AB于点D,求cos∠BCD的值. 已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，点D在BC边上，且∠CAD=∠B．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥AB，垂足为F．已知:Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为AB的中点,M,N在AC,BC上,且AM=CN 已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,且DE⊥AC,DF⊥BC.求证：四边形DECF是正方形. 图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线．如图,已知在RT△ABC中,∠ACB=90°,CD垂直AB于D,DE垂直AC于E,求证：BC²/AC² 如图,已知：Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD、DE、DF分别垂直AB,AC,BC,垂足是D,E,F.求证：AC X 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．以AB为边作正方形ABEF，连CE，则△CBE的面积为_