（本小题满分14分）如图，在棱长为 a 的正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，E、F分别为棱AB和BC的

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 13:28:33

（本小题满分14分）
如图，在棱长为 a 的正方体ABCD—A₁ B₁ C₁ D₁ 中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF交BD于H。
（1）求二面角B₁ —EF—B的正切值；
（2）试在棱B₁ B上找一点M，使D₁ M⊥平面EFB₁ ，并证明你的结论；
（3）求点D₁ 到平面EFB₁ 的距离。

，取B₁ B的中点M，

（1）连AC、B₁ H，则EF//AC，
∵AC⊥BD，所以BD⊥EF。
∵B₁ B⊥平面ABCD，所以B₁ H⊥EF，
∴∠B₁ HB为二面角B₁ —EF—B的平面角。 ………………2分
在

故二面角B₁ —EF—B的正切值为

…………4分

（2）在棱B₁ B上取中点M，连D₁ M、C₁ M。 ∵EF⊥平面B₁ BDD₁ ，
所以EF⊥D₁ M。 …………6分
在正方形BB₁ C₁ C中，因为M、F分别为BB₁ 、BC的中点，
∴B₁ F⊥C₁ M …………8分
又因为D₁ C₁ ⊥平面BCC₁ B₁ ，所以B₁ F⊥D₁ C₁ ，
所以B₁ F⊥D₁ M，
∴D₁ M⊥平面EFB₁ ………………10分
（3）设D₁ M与平面EFB₁ 交于点N，则D₁ N为点D₁ 到平面EFB₁ 的距离。……11分
在Rt△MB₁ D₁ 中，