等价关系 设N是正整数集,又设R是定义在N N上的二元关系

显然R∩R^-1是自反和传递的,因而只需证明R∩R^-1是对称的即可任给(x,y)属于R∩R^-1,即xRy且xR^-1y,则易知yR-1x且yRx即(x,y)属于R∩R^-1.所以R∩R^-1是对称

证明：1）若a属于S（集合）,则显然(a,a)属于S,取c=a即可,所以S有自反性2）若(a,b)属于S,则存在c有(a,c),(c,b)都属于R,由对称性(b,c),(c,a)都属于R,则(b,a)

(1)对于任意的x,y∈A,因为xy=yx所以∈R故R是自反的（2）对于任意的∈R所以xv=uy所以uy=xv所以∈R故R是对称的（3）对于任意的∈R且∈R所以xv=uy且uz=wv所以xz=xwv/

Rb=d.那么1.Rb=b成立,所以自反性质满足2.Rb=d;Rd=f所以如果R,R那么b=d=f所以R,即传递性质成立3.Rb=d那么R也是成立的因为d=b成立所以R是等价关系这个关系表明,只要后面

对于任意的a∈A,因为R是等价关系,所以aRa,由S的定义可知(a,a>∈S.所以S非空且有自反性.如果∈S,那么存在c∈A,使得aRc,cRb.因为R是等价关系,有对称性,所以bRc,cRa,由S的

设A/R的r个元素的势分别为x1,……,xr则x1+……+xr=n,x1^2+……+xr^2=s由基本不等式有s≥n^2/r故rs≥n^2

因为1,6,11,16mod5＝12,7,12,17mod5＝23,8,13,18mod5＝34,9,14,19mod5＝45,10,15,20mod5＝0所以A/R＝{[0],[1],[2],[3]

证明由R是一个等价关系,故R是自反,对称和传递的.对任意a∈X,由R是自反的,故∈R,由∈R和∈R得∈S,故S也是自反的;如果∈S,则存在c∈X,使∈R且∈R,由R是对称的,故∈R,∈R,由∈R和∈R

错误,即R不是等价关系.因为等价关系要求有自反性xRx,但不在R中.

先证明自反性:对任意(a,a)有aa=aa成立,所以(a,a)R(a,a),(a,a)具有自反性在证明对称性:对任意(a,b)有ab=ba成立,所以(a,b)R(b,a),(a,b)具有对称性最后证明

1、R是自反关系则（b,b）属于R2、当（a,b）属于R,利用1可以得到（b,a）属于R,对称性得证3、R具备反身、对称、传递故等价关系

是等价关系,等价类有两个{1,2,3},{4,5}再问：这个关系图怎么画？再答：看书吧，呵呵。再问：额是这样不？再答：这些数自身到自身也得画个圈圈。

1,自反性,对x∈R,均有,R为X+X=2x为偶数在R中.2,交换性,因为,X+Y=Y+X,可知在R中时,也在R中.3,传递性,因为,X+Z=X+Y+Y+Z-2Y若R,且有R,即X+Y和Y+Z均为偶数

答：A/R={{a,b},{c,d}}

第一个验证一下就行任何X属于A(X,X)属于R(X,X)属于S所以属于R∩S(自反性)若(X,Y)属于R∩S则(X,Y)属于R(X,Y)属于S所以(Y,X)属于R(Y,X)属于S所以(Y,X)属于R∩

设S={1,2,3,4},并设A=SxS,在A上定义关系R为：R当且仅当a+b=c+d,证明R是等价关系.　　证明只需验证如下3个条件,即知A是一个等价关系.　　1）自反性：对任意∈A,因a+b=a+

必要性：当r是a上的等价关系时,由等价关系的传递性,显然有属于r且属于r时,有属于r.充分性：由r是a上自反性关系,所以自反性自然成立.于是∈r,若∈r.则由∈r且∈r(注意书写顺序),有∈r,(若写

水中溶有少量空气,容器壁的表面小空穴中也吸附着空气,这些小气泡起气化核的作用.水对空气的溶解度及器壁对空气的吸附量随温度的升高而减少.当水被加热时,气泡首先在容器壁上生成.气泡生成之后,气泡内部的容器

比较容易证明：因为R是传递关系R^2包含于R,下证R包含于R^2任意元素（x,y）属于R,因为R满足自反关系,所以（y,y）属于R所以（x,y）*（y,y）=（x,y）属于R*R因此R包含于R^2所以

证明：1.任取x属于R+,可知x*x>0,即属于T2.任取x,y属于R+,设属于T,则由T的定义可知x*y>0,由乘法的交换律可得y*x>0,所以属于T3.任取x,y,z属于R+,设属于T,属于T,则