某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 10:08:36

某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米²，水池所有墙的厚度忽略不计．

（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

（1）设污水处理池的宽为x米，则长为
162
x米．
则总造价f（x）=400×（2x+
2×162
x）+248×2x+80×162=1296x+
1296×100
x+12960
=1296（x+
100
x）+12960≥1296×2×
x•
100
x+12960=38880（元），
当且仅当x=
100
x（x＞0），即x=10时，取等号．
∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．
（2）由限制条件知

0＜x≤16
0＜
162
x≤16，∴10
1
8≤x≤16．
设g（x）=x+
100
x（10
1
8≤x≤16），
由函数性质易知g（x）在[10
1
8，16]上是增函数，
∴当x=10
1
8时（此时
162
x=16），g（x）有最小值，即f（x）有最小值
1296×（10
1
8+
800
81）+12960=38882（元）．
∴当长为16米，宽为10
1
8米时，总造价最低，为38882元．