（2014•长春三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/27 18:27:36

（2014•长春三模）已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求

•

（1）由题可知F(
p
2，0)，则该直线方程为：y＝x−
p
2，…（1分）
代入y²=2px（p＞0）得：x2−3px+
p2
4＝0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则有x₁+x₂=3p…（3分）
∵|MN|=8，∴x₁+x₂+p=8，即3p+p=8，解得p=2
∴抛物线的方程为：y²=4x．…（5分）
（2）设l方程为y=x+b，代入y²=4x，得x²+（2b-4）x+b²=0，
∵l为抛物线C的切线，∴△=0，
解得b=1，∴l：y=x+1…（7分）
由（1）可知：x₁+x₂=6，x₁x₂=1
设P（m，m+1），则

PM＝(x1−m，y1−(m+1))，

PN＝(x2−m，y2−(m+1))
∴

PM•

PN＝(x1−m)(x2−m)+[y1−(m+1)][y2−(m+1)]
=x1x2−m(x1+x2)+m2+y1y2−(m+1)(y1+y2)+(m+1)2
∵x₁+x₂=6，x₁x₂=1，(y1y2)2＝16x1x2＝16，y₁y₂=-4，y12−y22＝4(x1−x

（2014•长春三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB的中点到抛物抛物线习题已知斜率为2的直线l过抛物线y2=px（p＞0）的焦点F,且与y轴相交于点A,若△OAF（O为坐标原点）的面积斜率为43的直线l经过抛物线y2=2px的焦点F（1，0），且与抛物线相交于A、B两点．已知抛物线C：y²=2px(P＞0）的焦点为F 若过F的直线L与C相交于A B两点若AB的垂直平分线L’与C相交于M 已知抛物线C:y^2=2px（p>0）过焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A,B两点,若向量AF=3向量FB,则（2012•长宁区二模）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1，P2两点，已知斜率为2的直线l过抛物线y 2 =px（p＞0）的焦点F,且与y轴相交于点A,若△OAF（O为坐标原点）的面积为1 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F,过点P(-1,0)的直线l与抛物线C相交于A,B两点（│AP│＞│BP│）,若2│B 已知：斜率为1的直线l过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点已知斜率为2的直线l过抛物线y^ 2 =px（p＞0）的焦点F,且与y轴相交于点A,若△OAF（O为坐标原点）的面（2014•湖北模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点