问一道线性代数的问题有一n阶矩阵A,A^(2)=A ,又 r（A）=r ,证明A能对角化.书上说：因为 A^(2)=A

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/08 12:08:59

问一道线性代数的问题
有一n阶矩阵A,A^(2)=A ,又 r（A）=r ,证明A能对角化.
书上说：因为 A^(2)=A ,则A的特征值只能是0或1.
特征值λ=0有r重.
属于λ=0的特征向量有r个
特征值λ=1有n-r重.
属于λ=1的特征向量有n-r个
从而A有n个线性无关的特征向量,所以A可以对角化.
我的问题是：属于不同特征值（如属于λ=0与属于λ=1）的特征向量之间是线性无关的吗?

这个可以用数学归纳法证明：
对N阶方阵
当N=1时 X1线性无关成立
假设N=n-1时成立即X1,X2……Xn_1线性无关
当N=n时,设K1X1+K2X2+……+KnXn=0——(1)
两边同乘上A,再用λX替换掉AX得到
K1λ1X1+K2λ2X2+……+KnλnXn=0——(2)
(2)-λn(1)得
K1（λ1-λn）X1+K2(λ2-λn)X2+……+Kn_1(λn_1-λn)Xn=0
因为他们属于不同的特征值,所以有λi不等于λn,i=1,2……n-1
也就是说λi-λn不等于0
根据归纳假设知X1,X2……Xn_1线性无关
所以有Ki(λi-λn)=0,所以Ki=0
因此X1,X2……Xn线性无关

问一道线性代数的问题有一n阶矩阵A,A^(2)=A ,又 r（A）=r ,证明A能对角化.书上说：因为 A^(2)=A 线性代数：设A是n阶矩阵,满足A^2=A.证明：r(A)+r(A-E)=n 矩阵QR分解的证明题ORZ我又来问矩阵的问题了TT矩阵A为m*n阶矩阵,A=QR,m>n（a）证明当且仅当矩阵R中所有对线性代数,设A是(n≥2)阶方阵,证明A*是A的伴随矩阵,r(A*)=1的充要条件是r(A)=n-1. 线性代数问题n阶方阵A,A*为A的伴随矩阵,求证1：当r（A）=n-1时,r（A*）=1；2：当r（A）＜n-1时,r（线性代数,A为矩阵,证明R(A'A)=R(A).希望能给出详细过程. 线性代数的一道证明题A是n阶矩阵,求证,若A²=E,则r(E-A)+r(E+A)=n. 已知A是n矩阵,A^2=A,且秩(A)=r,证明A可以相似对角化,并求A的相似对角形以及行列式|A+E|的值. 线性代数问题：已知矩阵A为m*n,如何证明r(AB)=r(BA)=r(A)?其中B矩阵位A的转置矩阵. 线性代数问题A 是n阶实对称的幂等矩阵,（A^2=A,A^T=A）,r（A）=r,计算|I+A+A^2+...+A^k| 证明题：设A为n阶矩阵,且A^2-A=2E.证明A可对角化. 线性代数,矩阵问题,一直矩阵A的秩r（A）=2,求λ