矩阵QR分解的证明题ORZ我又来问矩阵的问题了TT矩阵A为m*n阶矩阵,A=QR,m>n（a）证明当且仅当矩阵R中所有对

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 19:22:55

矩阵QR分解的证明题
ORZ我又来问矩阵的问题了TT
矩阵A为m*n阶矩阵,A=QR,m>n
（a）证明当且仅当矩阵R中所有对角元素非零的时候,矩阵A的秩为n
（b）假设矩阵R中有k个非零元素,k的数值的变化会对矩阵A产生什么影响?

R中所有对角元素非零 rank(R)=n rank(R^HR)=n rank(A^HA)=n rank(A)=n
至于第二个问题,这个没法回答
对于列满秩矩阵,在要求 R 的对角元为正数的前提下 QR 分解是唯一的,所以在这个条件下 k 对于 A 或者 R 的性质已经没有太直接的影响了
再问：我想第二个问题既然是问R中含有若干非零元素，那么矩阵A就是奇异矩阵了。是不是矩阵R中非零对角元素的数目就是矩阵A的秩呀？
再答： "R中含有若干非零元素"不说明问题，可逆不可逆主要看对角元

R＝I的时候只有n个非零元，但是可逆
R＝
1 1 ... 1 1
0 1 ... 1 1
......
0 0 ... 1 1
0 0 ... 0 0
有n(n+1)/2-1个非零元，但是不可逆
再问：那么对于矩阵R来说，对角元的非零个数对矩阵A的秩会有什么影响呢？
再答：多少有点影响，但不会很大
能够说明的是，如果R有k个非零对角元，那么rank(A)至少是k

矩阵QR分解的证明题ORZ我又来问矩阵的问题了TT矩阵A为m*n阶矩阵,A=QR,m>n（a）证明当且仅当矩阵R中所有对如何证明n阶矩阵A即是正交矩阵又是正定矩阵当且仅当A为单位矩阵? 一道矩阵证明题...实矩阵A_(m×n) r(A)=m A’ 为A的转置矩阵证明 r（AA’）=m. 设A,B均为n阶矩阵.证明:分块矩阵AB BA是可逆矩阵当且仅当A+B A-B均为可逆矩阵设m×n实矩阵A的秩为n,证明：矩阵AtA为正定矩阵. 设n阶矩阵A与B相似,证明:存在满秩矩阵Q和另一矩阵R,使得A=QR,B=RQ 线性代数问题：已知矩阵A为m*n,如何证明r(AB)=r(BA)=r(A)?其中B矩阵位A的转置矩阵. 设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R（B）=n,证明B'AB也是正定矩阵关于矩阵的几道题目1、证明题：设为A奇数阶的反对成矩阵,则A=02、设A为m×n矩阵,A为n阶矩阵.已知r(A)=n,试矩阵证明设A, B均为n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵当且仅当A与B可交换设A为m×n矩阵,证明r（A）=1的充分必要条件是存在m×1矩阵α≠0与n≠1矩阵... 满秩矩阵相乘的秩?要证明：当且仅当存在满秩矩阵X：m*p 和Y：n*p,且A=X*Y'时,矩阵A的秩是p.show th