高数问题证明方程a0+a1x+a2x^2+.+anx^n=x^n+1(ai>0,i=0,1,2,.,n),在区间（0,+

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 09:51:16

高数问题
证明方程a0+a1x+a2x^2+.+anx^n=x^n+1(ai>0,i=0,1,2,.,n),在区间（0,+无穷）内有且仅有一个实根.

(为方便,这里以f(n,x)表示f(x)的n阶导数）
设f(x)=x^(n+1)-(a0+a1x+a2x^2+.+anx^n)
当x∈(0,﹢∞)时,x^i>0(i=0,1,2……,n)
（1）f(0) = -a0(a0+a1+a2+……+an),且x>1时
x^n>x^(n-1)>……>x^2>x>1
f(x)=x·x^n - (a0+a1x+a2x^2+.+anx^n)
>(a0+a1+a2+……+an)x^n - (a0+a1x+a2x^2+.+anx^n)
=a0(x^n-1)+a1(x^n-x)+a2(x^n-x^2)+.+an(x^n-x^n)
>a0·0+a1·0+a2·0+……+an·0=0
即当x>(a0+a1+a2+……+an),且x>1时,f(x)>0
（3）取x’≥(a0+a1+a2+……+an),且x‘>1
f'(x) = (n+1)x^n - (a1+2·a2x+3·a3x^2.+n·anx^(n-1)),f'(0)= -a1 0
……
f(n,x) = (n+1)!x - n!·an,
f(n,0)=-n!x'时,f(n,x)>0
f(n+1,x)= (n+1)!> 0
由上可知f(0),f'(0),f''(0),……f(n,0)均小小于0,但f(n+1,0)>0
且f(x'),f'(x'),f''(x'),……f(n,x')>0
（4）由于f(n+1,x)>0,所以f(n,x)为单调函数,有f(n,x’)>0
根据零点定理f(n,x)在(0,x')时有且仅有一个零点x(n),当x>x‘时,f(n,x)>0没有零点
所以f(n,x)在(0,﹢∞)时有且仅有一个零点x(n)
当0

高数问题证明方程a0+a1x+a2x^2+.+anx^n=x^n+1(ai>0,i=0,1,2,.,n),在区间（0,+ 在恒等式(1+X)^n=a0+a1X+a2X^2+……+anX^n（n为偶数）中,a0+a1+a2+……+an=? a0+0.5a1+.+an/(n+1)=0,证明f(x)=a0+a1x+..+anx^n在(0,1)内至少有1个零根（a0）＋（a1）/2＋.＋（an）/n＋1＝0证明f（x）＝a0＋a1x＋.＋anx的n次方在开去间0,1内至少有一个函数f(x)=a1x+a2x^2+.+anX^n,a1,a2,a3,...an成等差数列数列题已知f（x）=a1x+a2x^2+a3x^3+……+anx^n, {an}是等差数列,设fn(x)=a1x a2x^2 ...anx^n,n是正偶数,且已知fn(1)=n^2,fn(-1 函数f(x)=a1x+a2x^2+.+anX^n,a1,a2,a3,...an成等差数列,n为正偶数,又f(1)=n^2 已知函数f(x)==a1x+a2x+…+anx,n∈N+,且f(1)=n^2,求数列{an}的通项公式已知数列{an}及fn(x)=a1x+a2x²+…+anx^n,fn(-1)=[(-1)^n]*n 已知对于数列{an}中,有fn(x)=a1x+a2x^2+...+anx^n,且a1=3,fn(1)=p*(2^n-1/ 已知S（x）=a1x+a2x^2+L+anx^n,且a1,a2,L,an,组成等差数列,设S(1)=n^2