椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上有两点A、B满足OA垂直于OB(O为坐标原点),求证:O到直线AB
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 19:27:47
椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上有两点A、B满足OA垂直于OB(O为坐标原点),求证:O到直线AB距离为定值
第一问求出来1/OA^2+1/OB^2为定值,为(a^2+b^2)/(a^2b^2)
第一问求出来1/OA^2+1/OB^2为定值,为(a^2+b^2)/(a^2b^2)
设A(x1,y1)B(x2,y2)
根据题意y1/x1*y2/x2=-1
即x1x2+y1y2=0
设MN方程:y=kx+m代入椭圆b²x²+a²y²=a²b²
整理:(a²k²+b²)x²+2kma²x+a²m²-a²b²=0
韦达定理:x1+x2=-2kma²/(a²k²+b²),x1*x2=(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+km(x1+x2)+m²
x1x2+k²x1x2+km(x1+x2)+m²=0
(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)+k²(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)-2k²m²a²/(a²k²+b²)+m²=0
化简:(a²+b²)m²=a²b²(1+k²)
m²/(1+k²)=a²b²/(a²+b²)
|m|/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)
点O到直线MN的距离d=|m|/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)为定值
1/OA²+1/OB²=(OA²+OB²)/(OA²*OB²)=AB²/(AB*d)²=1/d²=1/[a²b²/(a²+b²)]
=(a²+b²)/(a²b²)=1/a²+1/b²
根据题意y1/x1*y2/x2=-1
即x1x2+y1y2=0
设MN方程:y=kx+m代入椭圆b²x²+a²y²=a²b²
整理:(a²k²+b²)x²+2kma²x+a²m²-a²b²=0
韦达定理:x1+x2=-2kma²/(a²k²+b²),x1*x2=(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+km(x1+x2)+m²
x1x2+k²x1x2+km(x1+x2)+m²=0
(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)+k²(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)-2k²m²a²/(a²k²+b²)+m²=0
化简:(a²+b²)m²=a²b²(1+k²)
m²/(1+k²)=a²b²/(a²+b²)
|m|/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)
点O到直线MN的距离d=|m|/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)为定值
1/OA²+1/OB²=(OA²+OB²)/(OA²*OB²)=AB²/(AB*d)²=1/d²=1/[a²b²/(a²+b²)]
=(a²+b²)/(a²b²)=1/a²+1/b²
椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上有两点A、B满足OA垂直于OB(O为坐标原点),求证:O到直线AB
已知抛物线y^2=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点,O为坐标原点,求证OA垂直OB
斜率为2的直线与椭圆x^2/4+y^2=1交于两点A,B,求|OA||OB|范围(O为坐标原点)
A,B是抛物线y^2=2px(p>0)上的两点,满足OA垂直OB(O为原点),求证直线AB恒过一定点
已知直线y=kx+2交抛物线x∧2=2y于A,B两点,O为坐标原点,(1)求证OA⊥OB
A.B是抛物线Y平方=4x上的2点,且满足OA垂直OB(O为原点),求证:直线AB经过一个定点
已知点A,B是双曲线x方-(y方/2)=1上的两点,O是坐标原点,且满足OA向量×OB向量=0,则点O到直线AB的距离等
直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B两点,求证:OA⊥OB(O为坐标原点)
已知直线y=kx+1交抛物线y=x平方于A、B两点,求证:(1)求证OA垂直OB(O为坐标原点)(2)若S三角形AOB=
已知椭圆的中心坐标原点为O,右焦点为F(1,0),短轴长为2,求直线L:Y=KX+B于AB两点且OA垂直于OB,求证直
已知A.B是抛物线y^2=2px(p>0)上的两点,且OA垂直OB(o为坐标原点),求证:直线AB过定点
设A,B为抛物线y^2=2px(p>0)上的两点,满足OA垂直OB(O为原点),证明直线AB经过定点