如图,在直角坐标系中,直线y=-√3/3x+2分别交x轴,y轴于C、A两点,将射线AM绕着点A顺时针旋转45°得到射线A

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 05:29:31

如图,在直角坐标系中,直线y=-√3/3x+2分别交x轴,y轴于C、A两点,将射线AM绕着点A顺时针旋转45°得到射线AN
点D为AM上的动点,点B为AN上的动点,点C在∠MAN的内部.当△BCD的周长取得最小值,且BD=5/3√2时,则△BCD的面积是?

求得A,C坐标 A(0,2) C(2√3,0)
AC=4
设C点关于AM,AN的对称点分别为C1和C2,则AM垂直平分CC1,AN垂直平分CC2
∴ CD=C1D,BC=BC1
∴ △BCD的周长 = BC+CD+BD
= BC2 + C1D + BD
≥线段C1C2
就是说,只有当△BCD的周长 = C1与C2之间的距离时,也即C1,B,D,C2四点共线时,是最小的.这就是所要求的那个情况.
设AM垂直CC1交于M1,AN垂直CC2交于N1
则∠AM1C=∠AN1C=90°
因此A,M1,C,N1四点共圆.设这个圆的圆心为P,作出这个圆.
AC就是这个圆的直径.
圆P的半径为AC/2=2
∠M1AN1是圆P的圆周角.∠M1PN1是∠M1AN1所对应的圆心角,因此
∠M1PN1 = 2∠M1AN1 =90°
∴M1N1=√2PN1=2√2
CM1=M1C1,CN1=N1C1,因此C1C2=2•M1N1=4√2
则C1D+BC2= C1C2 – BD = 7√2 /3；
∴BC+CD = 7√2 /3；
延长C1C至某一点Q,则∠N1CQ是圆P的内接四边形 A M1 C N1 的外角,它等于相对的顶点的内角.即 ∠N1CQ=∠M1AN1=45°
∠N1CQ又是三角形CC1C2的外角,故 ∠C1 + ∠C2 = ∠N1CQ =45°
而∠C1 = ∠DCC1 ,∠C2 = ∠BCC2,
因此∠DCC1 + ∠BCC2 =45°
而∠C1 CC2 =180°-∠N1CQ =180°-45°=135°,
所以∠BCD= ∠C1 CC2 – (∠DCC1 + ∠BCC2) =135°-45°=90° 是个直角
因此 BC²+CD² = BD² = 50/9
又BC+CD = 7√2 /3 → BC²+CD²+2•BC•CD=(7√2 /3)²=98/9
→BC•CD = [(98/9) - (50/9)] /2 = 8/3
此时的△BCD是直角三角形,故其面积为
S= BC•CD/2 = 4/3