作业帮凸函数与琴生不等式设ai,bi均大于0,i=1,2,.证明：a1b1+a2b2+.+anbn1,且1/p+1/q=1（a
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 16:23:17
凸函数与琴生不等式
设ai,bi均大于0,i=1,2,.证明：
a1b1+a2b2+.+anbn1,且1/p+1/q=1
（a,b的后面为下标）
设ai,bi均大于0,i=1,2,.证明：
a1b1+a2b2+.+anbn1,且1/p+1/q=1
（a,b的后面为下标）
这个不等式是离散形式的Holder不等式
证明它要先借用另外一个不等式——Young不等式:
对正实数a,b,p,q,满足1/p+1/q=1,恒有ab≤1/p*a^p+1/q*b^q,等号成立当且仅当a^p=b^q
构造函数f(x)=e^x,f二阶导数f''(x)=e^x>0,f(x)是下凸的
那么ab=e^(ln(ab))=e^(ln(a^p)/p+ln(b^q)/q)≤1/p*e^(ln(a^p))+1/q*e^(ln(b^q))=a^p/p+b^q/q
不等式得证
回到题目来
令xi=ai/(a1^p+a2^p+...+an^p)^(1/p),yi=bi/(b1^q+b2^q+...+bn^q)^(1/q)
,i=1,2,...n,只需证明:
x1y1+x2y2+...+xnyn≤1
而根据Young不等式
x1y1+x2y2+..+xnyn
≤1/p(x1^p+x2^p+...+xn^p)+1/q(y1^q+y2^q+...+yn^q)
=1/p+1/q
=1
这就完成了证明
顺便说明
等号成立当且仅当xi^p=yi^q,即
ai^p/(a1^p+a2^p+...+an^p)=bi^q/(b1^q+b2^q+...+bn^q)
即对任意i,j,i≠j,有
(ai/aj)^p=(bi/bj)^q
当p=q=2时立即得到我们熟知的Cauchy不等式的等号成立条件
证明它要先借用另外一个不等式——Young不等式:
对正实数a,b,p,q,满足1/p+1/q=1,恒有ab≤1/p*a^p+1/q*b^q,等号成立当且仅当a^p=b^q
构造函数f(x)=e^x,f二阶导数f''(x)=e^x>0,f(x)是下凸的
那么ab=e^(ln(ab))=e^(ln(a^p)/p+ln(b^q)/q)≤1/p*e^(ln(a^p))+1/q*e^(ln(b^q))=a^p/p+b^q/q
不等式得证
回到题目来
令xi=ai/(a1^p+a2^p+...+an^p)^(1/p),yi=bi/(b1^q+b2^q+...+bn^q)^(1/q)
,i=1,2,...n,只需证明:
x1y1+x2y2+...+xnyn≤1
而根据Young不等式
x1y1+x2y2+..+xnyn
≤1/p(x1^p+x2^p+...+xn^p)+1/q(y1^q+y2^q+...+yn^q)
=1/p+1/q
=1
这就完成了证明
顺便说明
等号成立当且仅当xi^p=yi^q,即
ai^p/(a1^p+a2^p+...+an^p)=bi^q/(b1^q+b2^q+...+bn^q)
即对任意i,j,i≠j,有
(ai/aj)^p=(bi/bj)^q
当p=q=2时立即得到我们熟知的Cauchy不等式的等号成立条件
凸函数与琴生不等式设ai,bi均大于0,i=1,2,.证明：a1b1+a2b2+.+anbn1,且1/p+1/q=1（a
已知C大于0,设P：函数Y=C的X次方在R上单调递减,Q：不等式X+|X-2C|大于1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个
已知a>0且a不等于1,设命题p：函数y=a^x在R上单调递减,q：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p且q为假,
1.若(1+ai)^2=-1+bi.(i是虚数单位,则|a+bi|=?
若复数2-ai=i(1-bi),则a+bi
ai/(1+i)=(1-bi)=?
已知a>0,设命题p:函数y=a的x次方在R上单调递减；命题q：不等式x+|x-2a|＞1的解集为R.若p和q有且只有
已知a＞0,设命题p：函数y=ax在R上单调递减,q：不等式x+|x-2a|＞1的解集为R,若p和q中有且只有一个命题为
已知a 0且a不等于1,设P:函数y=a^x在R上单调递减,Q函数Y=ln(x^2+ax+1)的定义域为R,若P与Q有且
（1+ai）（1-i）/（b+i）=2-i,则a+bi=?
数学数列难题已知等差数列{an}公差为d,d不等于0,等比数列{bn}公比q,q大于1.设Sn =a1b1 +a2b2
不等式证明,求证：a1/b1+a2/b2+...+an/bn>=(a1+a2+...+an)^2/a1b1+a2b2+.