不等式证明,求证：a1/b1+a2/b2+...+an/bn>=(a1+a2+...+an)^2/a1b1+a2b2+.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 20:53:48

不等式证明,
求证：a1/b1+a2/b2+...+an/bn>=(a1+a2+...+an)^2/a1b1+a2b2+...+anbn,在b1=b2=...=bn时成立

这是柯西不等式的变形.
a1/b1+a2/b2+...+an/bn>=(a1+a2+...+an)^2/a1b1+a2b2+...+anbn
即:[(√a1/√b1)^2+(√a2/√b2)^2+…+(√an/√bn)^2]
×[(√a1×√b1)^2+(√a2×√b2)^2+…+(√an×√bn)^2]
≥(a1+a2+...+an)^2
当且仅当b1=b2=...=bn时等号成立
柯西不等式:
(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)
≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2
证明:柯西不等式的一般证法有以下几种：
■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi,则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论.
■②用向量来证.
m=(a1,a2.an) n=(b1,b2.bn)
mn=a1b1+a2b2+.+anbn=(a1^2+a2^2+.+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.+bn^2)^(1/2)乘以cosX．
因为cosX小于等于1,所以：a1b1+a2b2+.+anbn小于等于a1^2+a2^2+.+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.+bn^2)^(1/2)
这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种,这里只取两种较常用的证法．

不等式证明,求证：a1/b1+a2/b2+...+an/bn>=(a1+a2+...+an)^2/a1b1+a2b2+. 使用排序不等式证明:a1b1+a2b2+……+anbn≥(a1+a2+……+an)(b1+b2……+bn) 请证明不等式：(a1+a2+...+an)^2/(a1*b1+a2*b2+...+an*bn) 证明切比雪夫不等式若a1≤a2≤...≤an,b1≤b2≤...≤bn,则（a1b1+a2b2+...+anbn）/n 矩阵|a1+b1 a1+b2.a1+bn;a2+b1 a2+b2.a2+bn;.an+b1 an+b2.an+bn|等于在等差数列an中,首项a1=1,数列bn=(1/2)an,且b1.b2.b3=1/64 求证a1b1+a2b2+...+ 若a1\b1=a2\b2=……=an\bn(a1,a2,……an,b2,……bn都是正整数）,求证：√a1b1+√a2b 在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,……证明：1/（a1+b1）+1/（a2+b2）+…1/（an+bn）＜有n个正分数.a1/b1〈a2/b2〈a3/b3〈...〈an/bn.证明a1/b2〈(a1+a2+.+an)/(b1+ 柯西不等式是不是可以这样推广：(a1+b1)(a2+b2).(an+bn)>=[n次根号(a1*a2*...*an)+n 已知{an}等差数列,{bn}等比数列,a1=b1,a2=b2,a2≠a1,且对所有的自然数n恒有an>0,求证：当n> an=2^n bn=2n Tm=b1/a1+b2/a2+……+bn/an,求Tn