为什么实对称矩阵的相似对角化要用正交矩阵?

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 20:54:00

为什么实对称矩阵的相似对角化要用正交矩阵?
一般矩阵的相似对角化用它的特征向量组成的矩阵就可以了,为什么实对称矩阵的相似对角化这么特殊呢,名称叫做正交矩阵化,求得特征向量矩阵后还要正交化和单位化使之成为正交矩阵呢?

对称矩阵也可以用一般的由特征向量组成的非奇异阵做对角化,只不过它有特殊的性质（对称）,因此我们就可以考虑特殊的对角化,也就是正交相似对角化.这么做有好处：正交矩阵的逆矩阵很容易求,就是它的转置,不像一般的可逆阵需要半天才能求出来.你想想,如果是一个1000*1000的矩阵求逆,那要多长时间才能做完?但正交矩阵就太容易了,只要转置一下就行了.
再问：你的意思是非正交矩阵也能把实对称矩阵相似对角化吗，那辛辛苦苦正交化单位化干嘛？我又不求逆，求逆麻烦和我没关系啊，我要的只是一个可逆矩阵P将A相似对角化得Λ，而P^(-1)我不需要知道谢谢回答，继续
再答：你得知道对角化的目的是什么，就是为了后续的计算。如果你只是把它对角化了而不进行后续计算，那还对角化干嘛？当然，学习阶段出题的时候可能只是为了考你们掌握对角化的过程，因此不考后续的一些计算。学这个的目的是为了以后的应用。
再问：没看出来正交对后续计算的影响啊，那非实对称矩阵不能正交化岂不是不能后续计算了？我就是觉得很多时候正交化没必要，但题目一遇到实对称矩阵就正交化，无解
再答：能进行计算，只不过麻烦而已，最简单的例子：求A^100，一般的对角化你是需要求出P^(-1)，但P是正交阵就不需要了，因为P^(-1)=P^T。特别是在数值计算中，不用正交化的后果是很严重的，由于误差的积累往往计算得到的结果根本是错误的，但用正交矩阵就没有这个问题，误差可以控制在机器精度以内。我说了，学习时只是给你一个工具，让你知道掌握这个工具，以后有用的着的地方，不是目前非要用。如果题目没有要求正交化，你可以不做正交化。
再问：谢谢你的回答，大概明白了，还有个问题，那我要求一个非实对称矩阵的100次方，那我就必须要求逆吗，我能用正交化来避免求逆这个过程吗，或者说，非实对称矩阵能正交矩阵化吗，我好像没见过
再答：非对称阵没办法，只能用一般的相似对角化，所以非对称阵的计算是数值计算的一个很大的问题，需要小心小心再小心。

为什么实对称矩阵的相似对角化要用正交矩阵? 一般矩阵,非实对称矩阵,如果它满足相似对角化的条件那它可不可以正交对角化线代试求一个正交的相似变换矩阵,并将对称矩阵对角化为什么相似矩阵对角化时特征向量不需要正交化单位化,而在实对称矩阵对角化时需要对实对称矩阵进行正交相似对角化的正交阵是否唯一?除了施密特正交化法,还有什么正交化法? 请问实对称矩阵用非正交矩阵对角化,所得对角矩阵的对角元素是否是特征值? 如果一个矩阵不是实对称矩阵,那么这个矩阵一定不能正交相似对角化么? 请问为什么有的实对称矩阵相似对角化时,特征向量没有单位化和正交化实对称矩阵为什么对角化时要单位化正交化实对称矩阵的对角化问题,正交矩阵p是唯一的吗? 实对称矩阵一定要用正交矩阵来对角化吗? 为什么实对称矩阵可以对角化