线性代数问题六、（12分）设3阶实对称矩阵a的特征值 ,入1=1,入2=2,入3= -2,a1=（1,-1,1）是a的属

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 06:31:48

线性代数问题
六、（12分）设3阶实对称矩阵a的特征值 ,入1=1,入2=2,入3= -2,a1=（1,-1,1）是a的属于入1的一个特征向量.记b=a^5-4*a^3+e ,其中e为3阶单位矩阵.
（I）验证a1是矩阵b的特征向量,并求b的全部特征值与特征向量；
（II）求矩阵b.
我会直接根据已知把矩阵b求出来,可是按照问法的思路应该怎么求啊,
因为实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的，所以B的属于特征值1的特征向量是方程组x1-x2+x3＝0的解

设f(x)＝x^5-4x^3+1,则B＝f(A),若λ是A的特征值,对应的特征向量是a,则f(λ)是B的特征值,a是对应的特征向量.
1、因为A(a1)＝a1,所以B(a1)＝f(1)a1＝-2(a1),所以a1＝(1,-1,1)' 是B对应于特征值-2的特征向量.
B的特征值是f(1)＝-2,f(2)＝1,f(-2)＝1
因为实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的,所以B的属于特征值1的特征向量是方程组x1-x2+x3＝0的解,取方程组的基础解系a2＝(1,0,-1)',a3＝(1,2,1)'（这里有一个小技巧,就是适当选择基础解系,使得它们与a1构成正交向量组,方便接下来求矩阵B）
所以矩阵B的特征值是-2,1,1,对应于-2的特征向量是ka1＝k(1,-1,1)',对应于特征值1的特征向量是k1(1,0,-1)'+k2(1,2,1)',k、k1、k2是任意实数.
2、把a1,a2,a3单位化一下,得b1=(1,-1,1)'/√3,b2=(1,0,-1)'/√2,b3=(1,2,1)'/√6,设矩阵P＝(b1,b2,b3),则P是正交矩阵,BP＝PC,其中C是对角矩阵diag(-2,1,1).所以B＝PCP'＝
0 1 -1
1 0 1
-1 1 0

线性代数问题六、（12分）设3阶实对称矩阵a的特征值 ,入1=1,入2=2,入3= -2,a1=（1,-1,1）是a的属设3阶对称矩阵A的特征值入1=1 入2=-1 入3=2 如果α1=（1.1.1）是A的属于入1的一个特征向量,记B=A^ 设3阶对称阵A的特征值为 “入1”=6 “入2”=“入3”=3,特征值“入1”=6对应的特征向量设入1入2 是矩阵A的两个不同的特征值,a1a2 分别属于特征值入1入2 的特征向量,证明：a1a2 线性无关线性代数,一个填空题设A为3阶实对称矩阵,a1=（0,1,1）^T,a2=（1,2,x）^T分别为A的对应于不同特征值的有关线性代数的问题这是一道考研真题,设A是三阶实对称矩阵,特征值分别是λ1=1,λ2=2,λ3=-2,且a1=（1,-1 线性代数,特征值,这里第一步代入 |入E-A|我能看懂,可后面的(入-3)(入-2)(入-1)是怎么来的?另外,入1＝1 设入1入2是矩阵A的两个不同的特征值对应的特征向量分别为a1a2,则证明a1,A(a1+a2)线性无关的充分必要条件线性代数~设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,-2,α1=（1,-1,1）^T是A的属于1的特征向量.B=A^5-4A^ 设3阶对称矩阵A有特征值2,1,1,对应于2的特征向量为a1=(1;-2;2),求矩阵A 线性代数：设3阶实对称矩阵A的特征值为a1=-1,a2=a3=1,对应于a1的特征向量为b1=(0,0,1)T,求矩阵A 求一道线性代数题~设2阶实对称矩阵A的特征值为1和2,它们对应的特征向量为a1=（1,1） a2=（1,k）都是列向量啊