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设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)×f(y),当且只当x>0时,0<f(x)<1

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/30 13:56:06
设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)×f(y),当且只当x>0时,0<f(x)<1成立
(1)求证:f(0)=1
(2)x<0时,比较f(x)与1的大小
(3)判断函数f(x)在R上的单调性,并予以证明
(第一问会,f(0+1)=f(1)=f(0)×f(1) f( 0)=1)是不是?
1、f(x+y)=f(x)f(y)
令y=0,得:f(x)=f(x)f(0)
因为f(x)不恒为0;
所以:f(0)=1
2、f(x+y)=f(x)f(y)
令y=-x,得:f(0)=f(x)f(-x)
由(1)f(0)=1,得:f(x)=1/f(-x)
不妨令x0,
因为x>0时,0f(x2)
即x1f(x2)
所以,f(x)在R上是单调递减的.