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设定义在R上的函数f(x),对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)*f(y),且当x>0时,恒有f(x)>1.证明:

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/04/27 10:28:24
设定义在R上的函数f(x),对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)*f(y),且当x>0时,恒有f(x)>1.证明:
(1)当f(0)=1,且x<0时,0<f(x)<1
(2)f(x)是R上的单调增函数
1)
当x0
f(x+ (-x) )=f(x))×f(-x)
即f(0)= 1 =f(x)×f(-x)
==> f(x) =1/f(-x)
因为当x>0时,恒有f(x)>1
==> -x >0时,f(-x)>1,
f(x) =1/f(-x)
则00,所以f(x1-x2)>1
所以f(x1)/f(x2)>1 ,所以f(x1)>f(x2)
∴f(x)是R上的单调增函数