作业帮T是数域K上的n维线性空间V的一个线性变换,证明：T在任意一组基下的矩阵都相同的充要条件是T是数乘变换
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 07:25:15
T是数域K上的n维线性空间V的一个线性变换,证明：T在任意一组基下的矩阵都相同的充要条件是T是数乘变换
充分性我知道,主要是必要性怎么证
充分性我知道,主要是必要性怎么证
那先随便取定一组基B1,T在这组记下的矩阵设成A.
再取另一组基B2两组基间的过渡矩阵P：从B1到B2间的过渡矩阵.（此时B2可以由P唯一决定）
T在B2下的矩阵设成C.易知C=P逆*A*P
那么这个问题的必要性就化简成为如下问题：
A满足：对任意的n阶可逆矩阵P,C=P逆*A*P=A,相当于P和A可以交换：PA=AP,则必有A是数乘矩阵：A=k*I,I是单位矩阵.
证明：不妨设A的第i行第j列是aij
1 先证明A是对角矩阵：（与对角矩阵可交换的都是对角矩阵）
取P是一个对角矩阵D,且主对角线上元素为d1,d2,d3,...,dn,并保证这n个数两两不同,di≠dj
AP的第i行第j列是dj*aij,PA的第i行第j列是di*aij,所以dj*aij=di*aij.
如果i不等于j,di≠dj,此时aij=0
所以A是对角矩阵
2 任取i,j
再取P=I+Eij,其中Eij是第i行第j列是1,其余全是零的矩阵.
并重新设A的主对角线上元素分别为a1,a2,a3,...,an
PA的第i行第j列是aj,AP的第i行第j列是ai,aj=ai
所以A主对角线上元素全部相等,A是数乘矩阵
这样T也是数乘变换了.
再取另一组基B2两组基间的过渡矩阵P：从B1到B2间的过渡矩阵.（此时B2可以由P唯一决定）
T在B2下的矩阵设成C.易知C=P逆*A*P
那么这个问题的必要性就化简成为如下问题：
A满足：对任意的n阶可逆矩阵P,C=P逆*A*P=A,相当于P和A可以交换：PA=AP,则必有A是数乘矩阵：A=k*I,I是单位矩阵.
证明：不妨设A的第i行第j列是aij
1 先证明A是对角矩阵：（与对角矩阵可交换的都是对角矩阵）
取P是一个对角矩阵D,且主对角线上元素为d1,d2,d3,...,dn,并保证这n个数两两不同,di≠dj
AP的第i行第j列是dj*aij,PA的第i行第j列是di*aij,所以dj*aij=di*aij.
如果i不等于j,di≠dj,此时aij=0
所以A是对角矩阵
2 任取i,j
再取P=I+Eij,其中Eij是第i行第j列是1,其余全是零的矩阵.
并重新设A的主对角线上元素分别为a1,a2,a3,...,an
PA的第i行第j列是aj,AP的第i行第j列是ai,aj=ai
所以A主对角线上元素全部相等,A是数乘矩阵
这样T也是数乘变换了.
T是数域K上的n维线性空间V的一个线性变换,证明：T在任意一组基下的矩阵都相同的充要条件是T是数乘变换
T是数域K上的n维线性空间V的一个线性变换,证明：T在任意一组基下的矩阵都相同的充分必要条件是T是数乘变换
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