已知四棱锥S-ABCD中,底面是边长为1的正方形,又SB=SD=根号2,SA=1

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 10:25:59

已知四棱锥S-ABCD中,底面是边长为1的正方形,又SB=SD=根号2,SA=1
(1)求证：SA垂直于平面ABCD （2）在棱SC上是否存在异于S,C的点F,使得BF平行于平面SAD?若存在,确定F的位置；若不存在,请说明理由

（1）证明：在⊿SAB中,因SA^2+AB^2=SB^2,则SA⊥AB（勾股定理）
同理在⊿SAD中,因SA^2+AD^2=SD^2,则SA⊥AD（勾股定理）
而AB于AD交于平面ABCD
所以SA⊥平面ABCD
（2）过S作SE//BC//AD,并取SE=BC=AD,连接DE、CE
显然平面SADE与平面SAD为同一平面,平面SBCE与平面SBC为同一平面
所以SE为平面SAD 与平面SBC的交线
任意取SC上异于S、C的F点,连接BF
显然BF不平行于BC,而BC//SE,则BF不平行于SE
所以BF不平行于平面SAD
用反证思维也可以说明：
令F为SC上异于S、C一点,假如BF//平面SAD
因BF属于平面SBC,平面SBC与平面SAD交于SE
则BF//SE
而SE//BC
所以BF//BC
而BF与BC交于B
则BF与BC重合
即F、C重合
这与“F为SC上异于S、C一点”相矛盾
则以上假设不成立
所以BF不平行于平面SAD