作业帮量子力学算符方程的一道证明题.
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/30 04:33:05
量子力学算符方程的一道证明题.
e^A*e^B=e^(A+B)*e^(1/2*[A,B]),我知道在commutive的情况下,e^(1/2*[A,B])就是0了.但是如何推导arbitrary的A,B两个operator满足以上关系呢?hint我也不知道怎么用.
据我所知,只有当A和B都和[A,B]对易时,才有(a)式和hint中的[A,G]对易式.如果满足,则
dF/dt=[A+e^(At)Be^(-At)]F
[B,e^(At)]=[B,At]e^(At)
[e^(At),B]=t[A,B]e^(At)
e^(At)B=Be^(At)+t[A,B]e^(At)
代入得
dF/dt=[A+B+t[A,B]]F
解得：F=F(0)exp[(A+B)t+[A,B]t^2/2]
取t=0得F(0)=1
因此F=exp[(A+B)t+[A,B]t^2/2]
再取t=1,(a)得证.
dF/dt=[A+e^(At)Be^(-At)]F
[B,e^(At)]=[B,At]e^(At)
[e^(At),B]=t[A,B]e^(At)
e^(At)B=Be^(At)+t[A,B]e^(At)
代入得
dF/dt=[A+B+t[A,B]]F
解得：F=F(0)exp[(A+B)t+[A,B]t^2/2]
取t=0得F(0)=1
因此F=exp[(A+B)t+[A,B]t^2/2]
再取t=1,(a)得证.